Question

如圖，以矩形OCPD的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，它的兩條邊所在的直線分別為x軸和y軸建立直角坐標(biāo)系．以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑的⊙P與x軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，函數(shù)y=ax²+bx+4過A，B，C三點(diǎn)且AB=6．
（1）求⊙P的半徑R的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)E在y軸上，且△ACE是等腰三角形，試寫出所有點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）在函數(shù)y=ax²+bx+4中令x=0，解得y=4，則OC=PD=4，連接PA，在直角三角形△PAD中，根據(jù)勾股定理就可以得到PA的長(zhǎng)．即圓的半徑；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，把AC分別看作底和腰進(jìn)行討論．

解答：解：（1）如圖，連接AP，

∵四邊形ODPC為矩形，
∴PD⊥AB，
∴AD=BD=

1

2

AB=3，
又∵拋物線y=ax²+bx+4經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，
∴C（0，4），
即OC=4，
∴PD=OC=4，
∴由勾股定理得AP=5，
∴⊙P的半徑R的長(zhǎng)為5；
（2）由（1）得OA=PC-AD=5-3=2，OC=4，則AC=

OA2+OC2

=2

5

，
設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y），當(dāng)△ACE是等腰三角形時(shí)，有三種情況，
①當(dāng)AC=CE時(shí)，則有|y-4|=2

5

，解得y=4+2

5

和y=4-2

5

，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為E₁（0，4+2

5

），E₂（0，4-2

5

）；
②當(dāng)AC=AE時(shí)，因?yàn)镺為AE中點(diǎn)，所以O(shè)E=OC=4，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為E₃（0，-4）；
③當(dāng)CE=AE時(shí)，則CE=|y-4|，OE=|y|，OA=2，在Rt△OAE中由勾股定理可得：|y-4|²=|y|²+2²，解得y=

3

2

，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

3

2

）；
綜上可知E點(diǎn)的坐標(biāo)為E₁（0，4+2

5

），E₂（0，4-2

5

），E₃（0，-4）（0，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查垂徑定理及矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理即垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧是解題的關(guān)鍵．