Question

3．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的圖象與矩形ABCO的邊BC交于點D，與邊AB交與點E，直線DE與x軸、y軸分別交于點F、G．若△ODG與△ODF的面積比為2：7，則矩形ABCO的面積是14．

Answer 1

分析 設(shè)D（m，$\frac{4}{m}$），E（n，$\frac{4}{n}$），得到OC=AB=$\frac{4}{m}$，CD=m，AE=$\frac{4}{n}$，OA=BC=n，于是得到S_矩形ABCO=AB•BC=$\frac{4n}{m}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{CD}{BD}=\frac{DG}{DE}$，得到$\frac{m}{n-m}=\frac{DG}{DE}$，同理得到$\frac{m}{n-m}=\frac{EF}{DE}$，得到DG=EF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=AF=m，CG=AE=$\frac{4}{n}$，根據(jù)△ODG與△ODF的面積比為2：7，列方程得到$\frac{4n}{m}$=14，即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)D（m，$\frac{4}{m}$），E（n，$\frac{4}{n}$），
∴OC=AB=$\frac{4}{m}$，CD=m，AE=$\frac{4}{n}$，OA=BC=n，
∴S_矩形ABCO=AB•BC=$\frac{4n}{m}$，
∵∠GCD=∠B=90°，∠GDC=∠BDE，
∴△CDG∽△BDE，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{DG}{DE}$，
即$\frac{m}{n-m}=\frac{DG}{DE}$，
同理$\frac{AE}{BE}=\frac{EF}{DE}$，
即$\frac{\frac{4}{n}}{\frac{4}{m}-\frac{4}{n}}$=$\frac{EF}{DE}$，
∴$\frac{m}{n-m}=\frac{EF}{DE}$，
∴$\frac{DG}{DE}=\frac{EF}{DE}$，
∴DG=EF，
在△CDG與△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDF=∠AFE}\\{∠DCG=∠FAE}\\{DG=EF}\end{array}\right.$，
∴△CDG≌△AEF，
∴CD=AF=m，CG=AE=$\frac{4}{n}$，
∵△ODG與△ODF的面積比為2：7，
∴$\frac{\frac{1}{2}OG•CD}{\frac{1}{2}OF•OC}$=$\frac{2}{7}$，
∴$\frac{（\frac{4}{m}+\frac{4}{n}）m}{（m+n）•\frac{4}{m}}=\frac{2}{7}$，
∴$\frac{4n}{m}$=14（負(fù)值舍去），
∴矩形ABCO的面積是14．
故答案為：14．

點評 本題考查了反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)y=kx（k≠0）圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為|k|，主要通過設(shè)點的坐標(biāo)結(jié)合矩形性質(zhì)、反比例函數(shù)解析式及三角形全等表示出所需線段的長是關(guān)鍵．