Question

1．如圖，延長矩形ABCD的邊BC到E，使CE=BC，連接AE交CD于F點，BF交AC于G，且BG=BC．求矩形兩鄰邊之比AB：BC的值．

Answer 1

分析 先判斷出點G是△ABE的重心，得出$\frac{BG}{BF}=\frac{2}{3}$，再利用勾股定理找出a，b的關(guān)系，即可求出比值．

解答 解：在矩形ABCD中，CD=AB，AD=BC，∠ECF=∠ADF=90°，
∵BC=CE，
∴CE=AD，
在△ECF和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CFE=∠DFA}\\{∠ECF=∠ADF=90°}\\{CE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ECF≌△ADF
∴AF=EF，CF=DF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB，
∵BC=CE，
∴點G是△ABE的重心，
∴$\frac{BG}{GF}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BG}{BF}=\frac{2}{3}$，
設(shè)AB=a，BC=BG=b，
根據(jù)勾股定理得，
BF²=BC²+CF²，
∴BF=$\sqrt{B{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}}$，
∴$\frac{\sqrt{^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}}}=\frac{2}{3}$，
∴a=$\sqrt{5}$b，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{5}b}=\sqrt{5}$．
即：矩形兩鄰邊之比AB：BC的值為$\sqrt{5}$．

點評 此題是矩形性質(zhì)，主要考查了三角形的重心及性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判斷出點G是三角形ABE的重心，也是解本題的難點．