Question

4．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D是AB的中點，點E是AB邊上一點．
（1）直線BF⊥直線CE于點F，交CD于點G（如圖①），求證：AE=CG；
（2）直線BF⊥直線CE于點F，直線AH⊥直線CE于點H，交CD的延長線于點M（如圖②），找出圖中與BE相等的線段，并證明．

Answer 1

分析 （1）根據題意得到三角形ABC為等腰直角三角形，且CD為斜邊上的中線，利用三線合一得到CD垂直于AB，且CD為角平分線，得到∠CAE=∠BCG=45°，再利用同角的余角相等得到一對角相等，AC=BC，利用ASA得到三角形AEC與三角形CGB全等，利用全等三角形的對應邊相等即可得證；
（2）由等腰三角形的性質得出∠ACD=∠BCD=∠CBE=45°，利用AAS得到三角形BCE與三角形CAM全等，利用全等三角形的對應邊相等即可得證．

解答 （1）證明：∵點D是AB中點，AC=BC，∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG，
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°，
又∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG，
在△AEC和△CGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠BCG}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\\{∠ACE=∠CBG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△CGB（ASA），
∴AE=CG；
（2）解：CM=BE；理由如下：
∵AC=BC，∠ACB=90°，點D是AB的中點，
∴CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠CBE=45°，
∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，
∴∠CMA=∠BEC，
在△BCE和△CAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMA=∠BEC}&{\;}\\{∠ACM=∠CBE}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CAM（AAS），
∴BE=CM．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質；熟練掌握等腰直角三角形的性質，證明三角形全等三角形是解本題的關鍵．