Question

20．（1）問題解決：如圖1，△ABC中，BO、CO分別是∠ABC和∠ACB的平分線，O為BO、CO交點，若∠A=72°，求∠BOC的度數(shù)（寫出求解過程）；
（2）拓展與探究
①如圖1，△ABC中，BO、CO分別是∠ABC和∠ACB的平分線，O為BO、CO交點，當∠A=α°，∠BOC的度數(shù)是90°+$\frac{1}{2}$α；
②如圖2，BO、CO分別是△ABC兩個外角∠CBD和∠BCE的平分線，O為BO、CO交點，則∠BOC與∠A的關(guān)系是∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A；（請直接寫出你的結(jié)論）；
③如圖3，BO、CO分別是△ABC一個內(nèi)角∠CBA和一個外角∠ACD的平分線，O為BO、CO交點，則∠BOC與∠A的關(guān)系是∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A；（請直接寫出你的結(jié)論）

Answer 1

分析 （1）求出∠ABC+∠ACB，根據(jù)角平分線定義求出∠OBC+∠OCB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；
（2）①求出∠ABC+∠ACB，根據(jù)角平分線定義求出∠OBC+∠OCB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；
②根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出∠OBC與∠OCB，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；
③根據(jù)提供的信息，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，用∠A與∠1表示出∠2，再利用∠O與∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC與∠A的關(guān)系．

解答 解：（1）∵∠A=72°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=108°，
∵BO、CO分別是∠ABC和∠ACB的平分線，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}×108°$=54°，
∴在△BOC中，∠BOC=180°--（∠OBC+∠OCB）=126°；

（2）①∵∠A=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-α，
∵BO、CO分別是∠ABC和∠ACB的平分線，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}α$，
∴在△BOC中，∠BOC=180°--（∠OBC+∠OCB）=90°+$\frac{1}{2}α$，
故答案為：90°+$\frac{1}{2}$α；

②∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，
∵BO、CO分別是△ABC兩個外角∠CBD和∠BCE的平分線，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠DBC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ECB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（180°+∠A），
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°+∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
故答案為：∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A；

③∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCE=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠OCE=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A+∠OBC，
∵∠OCE是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠OCE-∠OBC=$\frac{1}{2}$∠A+∠OBC-∠OBC=$\frac{1}{2}$∠A，
故答案為：∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A．

點評 本題考查了三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，熟記三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵，讀懂題目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．