Question

13．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，分別以AE、BE為直徑作兩個大小不同的⊙O₁和⊙O₂，若CD=16，則圖中陰影部分的面積為32π（結(jié)果保留π）．

Answer 1

分析 連接CA，DA，根據(jù)垂徑定理得到CE=ED=8，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，易證Rt△ECA∽Rt△EBD，則EC²=EA•EB=100；利用S_陰影部分=S_⊙O-S_⊙1-S_⊙2和圓的面積公式進行變形可得到陰影部分的面積=$\frac{1}{2}$•AE•EB•π，即可計算出陰影部分的面積．

解答 解：連接CA，DA，如圖：
∵AB⊥CD，CD=16，
∴CE=DE=8，
又∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CEA=∠BEC=90°，
∴∠A+∠ACE=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠ACE=∠B，
∴Rt△ECA∽Rt△EBC，
∴EC：EB=EA：EC，
∴EC²=EA•EB=64；
S_陰影部分=S_⊙O-S_⊙1-S_⊙2
=π•$\frac{1}{4}$AB²-π•$\frac{1}{4}$AE²-π•$\frac{1}{4}$BE²
=π[$\frac{1}{4}$AB²-$\frac{1}{4}$AE²-$\frac{1}{4}$（AB-AE）²]
=π（$\frac{1}{2}$AE•AB-$\frac{1}{2}$AE²）
=$\frac{1}{2}$•AE•EB•π
=32π．
故答案為：32π．

點評 本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的�。灰部疾榱藞A周角定理和三角形相似的判定與性質(zhì)以及圓的面積公式．