Question

1．如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的正弦值為$\frac{\sqrt{15}}{8}$．

Answer 1

分析 設(shè)底邊為a，由等腰三角形的周長是底邊長的5倍，得出腰長為2a，再作出三角形的高AD和CE，根據(jù)三角形的面積公式得到CE=$\frac{BC•AD}{AB}$=$\frac{a•\frac{\sqrt{15}}{2}a}{2a}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$a，然后在直角△ACE中利用正弦函數(shù)的定義即可求出sin∠BAC的值．

解答 解：如圖，等腰△ABC中，AB=AC，設(shè)底邊BC為a．
∵等腰三角形的周長是底邊長的5倍，
∴腰長為2a，即AB=AC=2a．
作AD⊥BC于D點，CE⊥AB于E點，則BD=$\frac{1}{2}$a，
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{（2a）^{2}-（\frac{1}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$a，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$AB•CE，
∴CE=$\frac{BC•AD}{AB}$=$\frac{a•\frac{\sqrt{15}}{2}a}{2a}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$a，
∴sin∠BAC=$\frac{EC}{AC}$=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{4}a}{2a}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$．
故答案為$\frac{\sqrt{15}}{8}$．

點評 本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，銳角三角函數(shù)定義，通過作輔助線構(gòu)造直角三角形求出腰上的高CE是解題的關(guān)鍵．