Question

7．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D．
（1）求證：點D是BC的中點；
（2）過點D作DE⊥AC，求證：DE是⊙O的切線；
（3）若AB=8，∠ABC=30°，求四邊形DEAB的面積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AD，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=90°，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)易得點D是BC的中點；
（2）連結(jié)OD，如圖，先證明OD為△ABC的中位線，得到OD∥AC，由于DE⊥AC，則DE⊥OD，于是根據(jù)切線的判斷定理得到DE是⊙O的切線；
（3）利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系，在Rt△ABD中計算出AD=$\frac{1}{2}$AB=4，BD=$\sqrt{3}$AD=4$\sqrt{3}$，則可得到S_△ADS_△ADB=8$\sqrt{3}$，根據(jù)等角的余角相等得到∠ADE=∠B=30°，則可計算出AE=$\frac{1}{2}$AD=2，DE=$\sqrt{3}$AE=2$\sqrt{3}$，所以S_△ADE=2$\sqrt{3}$，然后利用四邊形DEAB的面積=S_△ADB+S_△ADE進行計算．

解答 （1）證明：連結(jié)AD，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
即點D是BC的中點；
（2）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵BD=CD，OB=OA，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線；
（3）解：在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=4，BD=$\sqrt{3}$AD=4$\sqrt{3}$，
∴S_△ADB=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，
∵∠ADE=∠B=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=2，DE=$\sqrt{3}$AE=2$\sqrt{3}$，
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴四邊形DEAB的面積=S_△ADB+S_△ADE=8$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=10$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．