Question

2．如圖，△ABC是等邊三角形，邊長(zhǎng)為6，D是AC邊上一點(diǎn)，連接BD，⊙O為△ABD的外接圓，過點(diǎn)A作AE∥BC交⊙O于點(diǎn)E，連接DE、BE．
（1）求證：△BDE是等邊三角形；
（2）求△ADE周長(zhǎng)的最小值；
（3）當(dāng)AD=2時(shí)，設(shè)⊙O與BC邊的交點(diǎn)為F，過F作⊙O的切線交AC于G，求CG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）若要證明△BDE是等邊三角形，則只要證明∠3=∠4=∠1=∠2=60°即可；
（2）由題意可知當(dāng)⊙O的半徑最小時(shí)△ADE的周長(zhǎng)最小，如圖2所示：當(dāng)AB是⊙O的直徑時(shí)，⊙O的半徑最小=$\frac{1}{2}$AB=3，并且此時(shí)BD⊥AC，利用已知條件分別求出AD，AE，DE的長(zhǎng)即可求出△ADE的周長(zhǎng)；
（3）連接AF，延長(zhǎng)GF至M，首先證明△ABD≌△ABF，由全等三角形的性質(zhì)可得∠BAF=∠ABD；AD=BF=2，所以CF=BC-BF=4，又因?yàn)镚F是⊙O的切線，所以可得∠CFG=∠BFM=∠BAF=∠ABD，進(jìn)而可證明△ABD∽△FCG，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出CG的長(zhǎng)．

解答 解：（1）如圖1所示：
∵等邊三角形ABC，
∴∠1=∠C=60°，
∵AE∥BC，
∴∠CAE+∠C=180°，
∴∠CAE=∠1+∠2=180°-∠C=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∵∠1=4；∠2=∠3（同弧圓周角相等），
∴∠3=∠4=∠1=∠2=60°，
∴△BDE是等邊三角形；
（2）當(dāng)⊙O的半徑最小時(shí)△ADE的周長(zhǎng)最小，如圖2所示：
當(dāng)AB是⊙O的直徑時(shí)，⊙O的半徑最小=$\frac{1}{2}$AB=3，
此時(shí)BD⊥AC，
∵△BDE是等邊三角形，
∴DE=BD=AB•sin∠1=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
易證△ABD≌△ABE，
∴AE=AD=AB•cos∠1=6×$\frac{1}{2}$=3，
∴△ADE周長(zhǎng)的最小值=3+3+3$\sqrt{3}$=6+3$\sqrt{3}$；
（3）如圖1所示，連接AF，延長(zhǎng)GF至M，
∵等邊三角形ABC，
∴∠1=∠ABC=∠C=60°，
又∠AFB=∠ADB；AB=AB，
∴△ABD≌△ABF，
∴∠BAF=∠ABD；AD=BF=2，
∴CF=BC-BF=4，
∵GF是⊙O的切線，
∴∠CFG=∠BFM=∠BAF=∠ABD，
∴△ABD∽△FCG，
∴$\frac{CG}{AD}=\frac{CF}{AB}$，
即 $\frac{CG}{2}=\frac{4}{6}$，
解得：CG=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了和圓有關(guān)的綜合性題目，用到的知識(shí)點(diǎn)有：等邊三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及特殊角的銳角三角函數(shù)值，題目的綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的綜合解題能力要求很高，是一道不錯(cuò)的中考?jí)狠S題．