Question

15．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點O為原點，點A，C分別在坐標(biāo)軸上．正方形OABC邊長為4，△CDO是以CO為斜邊的等腰直角三角形，點E在DO上，且線段BE平分五邊形OABCD的面積，則點E的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 作DG⊥OC于G，作EF⊥x軸于F，先求出點D坐標(biāo)，再求出直線OD的解析式，求出五邊形OABCD的面積和四邊形OABE的面積，設(shè)點E坐標(biāo)為（a，-a），由四邊形OABE的面積=梯形AEF的面積-△OEF的面積，得出方程，解方程即可．

解答 解：作DG⊥OC于G，作EF⊥x軸于F，如圖所示：
則四邊形ABEF是梯形，CG=OG=$\frac{1}{2}$OC=2，
∴D（-2，2），
設(shè)直線OD的解析式為y=kx，
把D（-2，2）代入得：k=-1，
∴y=-x，
設(shè)點E坐標(biāo)為（a，-a），
∵△CDO是以CO為斜邊的等腰直角三角形，
∴OD=CD=OC•sin45°=4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$，
∴△CDO的面積=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=4，
∵正方形OABC的面積=4×4=16，
∴五邊形OABCD的面積=16+4=20，
∵BE平分五邊形OABCD的面積，
∴四邊形OABE的面積=10，
∵四邊形OABE的面積=梯形ABEF的面積-△OEF的面積=$\frac{1}{2}$（-a+4）（-a+4）-$\frac{1}{2}$a²=10，
解得：a=-$\frac{1}{2}$，
∴點E的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
故答案為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題是一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)解析式的求法、等腰直角三角形的性質(zhì)、多邊形面積的計算方法等知識；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，通過作輔助線根據(jù)四邊形的面積列出方程是解決問題的關(guān)鍵．