Question

2．已知方程x²+3mx+2m-3=0．
（1）求證：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)a，b是平行四邊形的兩鄰邊邊長(zhǎng)，也是方程的兩根，且a＞b，求a-b的最小值．

Answer 1

分析 （1）先計(jì)算△=（3m）²-4（2m-3）=9m²-8m+12，配方得到△=9（m-$\frac{4}{9}$）²+$\frac{92}{9}$＞0，根據(jù)△的意義即可得到對(duì)于任何實(shí)數(shù)m，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得：a+b=-3m，ab=2m-3．由a＞b得出a-b=$\sqrt{（a+b）^{2}-4ab}$=$\sqrt{（-3m）^{2}-4（2m-3）}$=$\sqrt{9（m-\frac{4}{9}）^{2}+\frac{92}{9}}$，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

解答 （1）證明：方程的判別式△=（3m）²-4（2m-3）=9m²-8m+12=9（m-$\frac{4}{9}$）²+$\frac{92}{9}$＞0，
即對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系可得：a+b=-3m，ab=2m-3．
∵a＞b，
∴a-b=$\sqrt{（a+b）^{2}-4ab}$=$\sqrt{（-3m）^{2}-4（2m-3）}$=$\sqrt{9{m}^{2}-8m+12}$=$\sqrt{9（m-\frac{4}{9}）^{2}+\frac{92}{9}}$，
∴當(dāng)m=$\frac{4}{9}$時(shí)，a-b的最小值是$\frac{2\sqrt{23}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：
①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．