Question

已知，AB是⊙O的直徑，AD、BC是⊙O的切線，AB=4，AD=3，BC=6．
（1）求CD的長；
（2）點(diǎn)C、D分別沿射線CB、DA方向同時(shí)以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)多長時(shí)間線段CD恰好與⊙O相切？
（3）點(diǎn)P為⊙O上任一點(diǎn)，求△PCD面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,切線的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）作DE⊥BC于E，如圖1，根據(jù)切線的性質(zhì)得AB⊥AD，AB⊥BC，則肯定判斷四邊形ABED為矩形，所以DE=AB=4，BE=AD=3，CE=BC-BE=3，然后在Rt△CDE中利用勾股定理計(jì)算出CD=5；
（2）設(shè)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，分類討論：如圖2，當(dāng)點(diǎn)C、點(diǎn)D分別運(yùn)動(dòng)到N、M的位置與⊙O相切于Q，則MD=CN=t，易得四邊形CNMD為平行四邊形，則MN=CD=5，作MH⊥BC于H，則MH=AB=4，在Rt△MNH中計(jì)算出NH=3，設(shè)AM=x，利用切線長定理得MA=MQ=x，NQ=NB=NH+BH，加上AM=BH=x，則x+3+x=5，解得x=1，所以AM=1，MD=AD-AM=2，于是得到此時(shí)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2s；當(dāng)點(diǎn)C、點(diǎn)D分別運(yùn)動(dòng)到F、E的位置與⊙O相切于P，同理可得BF=1，CF=BC+BF=7，得到此時(shí)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為7s；
（3）點(diǎn)P為EF與⊙O的切點(diǎn)時(shí)，由于點(diǎn)P到CD的距離最大，所以此時(shí)△PCD面積的最大值，然后利用S_△PDC=

1

2

S_{平行四邊形CDEF}進(jìn)行計(jì)算，

解答：解：（1）作DE⊥BC于E，如圖1，
∵AB是⊙O的直徑，AD、BC是⊙O的切線，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴四邊形ABED為矩形，
∴DE=AB=4，BE=AD=3，
∴CE=BC-BE=6-3=3，
在Rt△CDE中，∵CE=3，DE=4，
∴CD=

CE2+DE2

=5；
（2）設(shè)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，
如圖2當(dāng)點(diǎn)C、點(diǎn)D分別運(yùn)動(dòng)到N、M的位置與⊙O相切于Q，則MD=CN=t
∵DM∥CN，
∴四邊形CNMD為平行四邊形，
∴MN=CD=5，
作MH⊥BC于H，則MH=AB=4，
在Rt△MNH中，∵M(jìn)N=5，MH=4，
∴NH=

MN2-MH2

=3，
設(shè)AM=x
∵M(jìn)A=MQ=x，NQ=NB=NH+BH，
而AM=BH=x，
∴x+3+x=5，解得x=1，
∴AM=1，
∴MD=AD-AM=2，
∴此時(shí)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2s；
當(dāng)點(diǎn)C、點(diǎn)D分別運(yùn)動(dòng)到F、E的位置與⊙O相切于P，同理可得BF=1，
∴CF=BC+BF=7，
∴此時(shí)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為7s；
綜上所述，運(yùn)動(dòng)2s或7s時(shí)間線段CD恰好與⊙O相切；
（3）點(diǎn)P為EF與⊙O的切點(diǎn)時(shí)，△PCD面積的最大值，
此時(shí)S_△PDC=

1

2

S_{平行四邊形CDEF}=

1

2

•4•7=14，
即△PCD面積的最大值為14．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．也考查了切線的性質(zhì)和切線長定理．