Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（-9，0）在x軸的負(fù)半軸上，點B在y軸的正半軸上，點C在線段OA上，AC：CO=1：2，△ABC的面積為12，動點P從C出發(fā)，沿線段CB以每秒1個單位的速度向終點B運動，同時動點Q從A出發(fā)沿線段AO以每秒2個單位的速度向終點O運動，Q點到達(dá)終點O，P點繼續(xù)運動至終點B停止運動，
（1）求直線BC的解析式；
（2）設(shè)動點P的運動時間為t秒，△PAQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下以Q點為圓心，以t個單位為半徑作⊙Q，求t為何值時，點P在⊙Q上．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)A點坐標(biāo)和已知條件可得C點坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式可得B點坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法可得直線BC的解析式；
（2）過P作PH⊥OC于H．根據(jù)三角函數(shù)得到PH=

4

5

t，根據(jù)勾股定理得到BC，再分兩種情況：0＜t≤

9

2

；

9

2

＜t≤10；討論可求S與t之間的函數(shù)關(guān)系；
（3）分三種情況：①Q(mào)與C重合；②Q在OC上；③Q在O點，P點繼續(xù)運動；討論可求點P在⊙Q上時t的值．

解答：解：（1）∵A（-9，0），
∴OA=9，
∵AC：CO=1：2，
∴AC=3，OC=6，
∴C（-6，0），
∵ABC的面積=

1

2

AC•DB=12，
∴OB=8，
∴B（0，8），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則

b=8 -6k+8=0

，
解得

k= 4 3 b=8

．
故直線BC的解析式為y=

4

3

x+8；
（2）過P作PH⊥OC于H．
PH=CP•sin∠BCO=

4

5

t，
在Rt△OBC中，BC=

62+82

=10，
則S=

4 5 t2(0＜t≤ 9 2 ) 18 5 t( 9 2 ＜t≤10)

；
（3）∵P在⊙O上，
∴OP=t，
分三種情況：
①Q(mào)與C重合，
2t=3，
解得t=

3

2

；
②Q在OC上，
∵CP=PQ=t，
∴CH=QH=

3

5

t，

6

5

t+3=2t，
解得t=

15

4

；
③Q在O點，P點繼續(xù)運動，

6

5

t+3=9，
解得t=5．

點評：考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：三角形面積，待定系數(shù)法求直線的解析式，三角函數(shù)，勾股定理，分類思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度較大．