Question

17．如圖，已知拋物線y=$\frac{1}{3}$x²+bx+c經(jīng)過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，其中點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B（9，10），AC∥x軸，點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點(diǎn)E、F，當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形AECP的最大面積；
（3）當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，在直線AC上是否存在點(diǎn)Q，使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)平行于x軸的直線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，可得C點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得AB的解析式，根據(jù)直線上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，可得E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得PE的長，根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得∠PCF=∠EAF，根據(jù)相似三角形的判定，可得關(guān)于t的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）將A（0，1），B（9，10）代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}×81+9b+c=10}\\{c=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=1}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式y(tǒng)=$\frac{1}{3}$x²-2x+1；

（2）∵AC∥x軸，A（0，1），
∴$\frac{1}{3}$x²-2x+1=1，解得x₁=6，x₂=0（舍），即C點(diǎn)坐標(biāo)為（6，1），
∵點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B（9，10），
∴直線AB的解析式為y=x+1，設(shè)P（m，$\frac{1}{3}$m²-2m+1）
∴E（m，m+1），
∴PE=m+1-（$\frac{1}{3}$m²-2m+1）=-$\frac{1}{3}$m²+3m．
∵AC⊥PE，AC=6，
∴S_{四邊形AECP}=S_△AEC+S_△APC=$\frac{1}{2}$AC•EF+$\frac{1}{2}$AC•PF
=$\frac{1}{2}$AC•（EF+PF）=$\frac{1}{2}$AC•EP=$\frac{1}{2}$×6（-$\frac{1}{3}$m²+3m）=-m²+9m=-（m-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{81}{4}$，
∵0＜m＜6，
∴當(dāng)m=$\frac{9}{2}$時(shí)，四邊形AECP的面積最大值是$\frac{81}{4}$，此時(shí)P（$\frac{9}{2}$，-$\frac{5}{4}$）；

（3）∵y=$\frac{1}{3}$x²-2x+1=$\frac{1}{3}$（x-3）²-2，
P（3，-2）．PF=y_F-y_p=3，CF=x_F-x_C=3，
∴PF=CF，
∴∠PCF=45°，
同理可得∠EAF=45°，
∴∠PCF=∠EAF，
∴在直線AC上存在滿足條件得點(diǎn)Q，設(shè)Q（t，1）且AB=9$\sqrt{2}$，AC=6，CP=3$\sqrt{2}$，
∵以C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，
①當(dāng)△CPQ∽△ABC時(shí)，$\frac{CQ}{AC}$=$\frac{CP}{AB}$，$\frac{6-t}{6}$=$\frac{3\sqrt{2}}{9\sqrt{2}}$，
解得t=4，
Q（4，1）；
②當(dāng)△CQP∽△ABC時(shí)，∴$\frac{CQ}{AB}$=$\frac{CP}{AC}$，
$\frac{6-t}{9\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{6}$，
解得t=-3，
Q（-3，1）．
綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，在直線AC上存在點(diǎn)Q，使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，1）或（-3，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是利用面積的和差得出二次函數(shù)，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)，平行于坐標(biāo)軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的坐標(biāo)減較小的坐標(biāo)；解（3）的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)的出關(guān)于CQ的比例，要分類討論，以防遺漏．