Question

如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，弦BD=BA，BC=5，BE⊥DC交DC的延長線于點E．
（1）求證：∠BCA=∠BAD；
（2）若∠BAC=30°，求DE的長；
（3）求證：BE是⊙O的切線．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由BD=BA得到∠BDA=∠BAD，再根據(jù)圓周角定理得到∠BCA=∠BDA，所以∠BCA=∠BAD；
（2）在Rt△ABC中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AB=

3

BC=5

3

，則BD=5

3

，在Rt△BED中，利用∠BDC=∠BAC=30°，則可計算出BE=

1

2

BD=

5 3

2

，DE=

3

BE=

15

2

；
（3）連結(jié)BO并延長交AD于F，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和外心的性質(zhì)得到BF⊥AD，再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ADC=180°-∠ABC=90°，所以BF∥DE，而BE⊥DE，于是得到BE⊥BF，然后根據(jù)切線得判定定理即可得到BE是⊙O的切線．

解答：（1）證明：∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD，
∵∠BCA=∠BDA，
∴∠BCA=∠BAD；
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，BC=5，
∴AB=

3

BC=5

3

，
∴BD=BA=5

3

，
∵BE⊥DC，
∴∠BED=90°，
而∠BDC=∠BAC=30°，
∴BE=

1

2

BD=

5 3

2

，
∴DE=

3

BE=

15

2

；
（3）證明：連結(jié)BO并延長交AD于F，如圖，
∵BA=BD，
∴BF⊥AD，
∵∠ADC=180°-∠ABC=90°，
∴BF∥DE，
而BE⊥DE，
∴BE⊥BF，
∴BE是⊙O的切線．

點評：本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑；當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．