Question

2．如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線是AP，PQ是線段BC的垂直平分線，PN⊥AB于N，PM⊥AC于M．
求證：BN=CM．

Answer 1

分析 連接PB、PC，根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得PM=PN，再根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得PB=PC，然后利用“HL”證明Rt△PMC和Rt△PNB全等，最后根據全等三角形對應邊相等證明即可．

解答 證明：如圖，連接PB、PC，
∵AP是∠BAC的平分線，PN⊥AB于N，PM⊥AC于M，
∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，
∵PQ是線段BC的垂直平分線，
∴PB=PC，
在Rt△PMC和Rt△PNB中，$\left\{\begin{array}{l}{PB=PC}\\{PM=PN}\end{array}\right.$，
∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），
∴BN=CM．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，熟記各性質并作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．