Question

如圖，P是⊙O的直徑AB的延長線上一點(diǎn)，PC是⊙O的切線，C為切點(diǎn)，PM平分∠APC交AC于點(diǎn)M，tanA=

1

2

，求sin∠MPC．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：連結(jié)OC，連結(jié)BC交PM于N，作CH⊥PM于H，根據(jù)圓周角定理得∠ACB=90°，利用正切的定義得tan∠A=

BC

AC

=

1

2

，設(shè)BC=x，則AC=2x，利用勾股定理計(jì)算出AB=

5

x，由于∠A+∠ABC=90°，而∠ABC=∠OCB，所以∠A+∠OCB=90°；根據(jù)切線的性質(zhì)得∠3+∠OCB=90°，則由∠A=∠3，可判斷△PCB∽△PAC，根據(jù)相似比得PA=2PC，PB=

1

2

PC，PC²=PB•PA，所以PC²=

1

2

PC•（

5

x+

1

2

PC），可計(jì)算出PC=

2 5

3

x；再利用三角形外角性質(zhì)可證明∠1=∠2，則CM=CN；然后證明△PAM∽△PCN，根據(jù)相似比得AM=2CN，利用AM=AC-CM得2x-CN=2CN，解得CN=

2

3

x；接著判斷△CHN為等腰直角三角形，則CH=

2

2

CN=

2

3

x，最后在Rt△PCH中，利用正弦的定義求解．

解答：解：連結(jié)OC，連結(jié)BC交PM于N，作CH⊥PM于H，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴tan∠A=

BC

AC

=

1

2

，
設(shè)BC=x，AC=2x，
∴AB=

AC2+BC2

=

5

x，
∵∠A+∠ABC=90°，
而∠ABC=∠OCB，
∴∠A+∠OCB=90°，
∵PC是⊙O的切線，
∴OC⊥PC
∴∠3+∠OCB=90°，
∴∠A=∠3，
∴△PCB∽△PAC，
∴

PB

PC

=

PC

PA

=

BC

AC

=

1

2

，
∴PA=2PC，PB=

1

2

PC，PC²=PB•PA
∴PC²=

1

2

PC•（

5

x+

1

2

PC），
∴PC=

2 5

3

x，
∵∠1=∠A+∠4，∠2=∠3+∠5，
∴∠1=∠2，
∴CM=CN，
∵PM平分∠APC交AC于點(diǎn)M，
∴∠4=∠5，
∴△PAM∽△PCN，
∴

AM

CN

=

PA

PC

=2，
∴AM=2CN，
而AM=AC-CM，
∴2x-CN=2CN，解得CN=

2

3

x，
∵∠1=∠2，∠MCN=90°，
∴∠2=45°，
∴CH=

2

2

CN=

2

3

x，
在Rt△PCH中，sin∠CPH=

CH

PC

=

2 3 x

2 5 3

=

10

10

，
∴sin∠MPC=

10

10

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)；經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和圓周角定理．