Question

12．已知：在矩形ABCD和△BEF中，∠DBC=∠EBF=30°，∠BEF=90°．

（1）如圖1，當點E在對角線BD上，點F在BC邊上時，連接DF，取DF的中點M，連接ME，MC，則ME與MC的數量關系是ME=MC，∠EMC=120°；
（2）如圖2，將圖1中的△BEF繞點B旋轉，使點E在CB的延長線上，（1）中的其他條件不變．
①（1）中ME與MC的數量關系仍然成立嗎？請證明你的結論；
②求∠EMC的度數．

Answer 1

分析 （1）首先根據∠BEF=90°，可得∠DEF=90°，再根據點M是DF的中點，可得ME=MD，同理，可得MC=MD，據此推得ME=MC即可；然后判斷出∠EMF=2∠MDE，∠CMF=2∠MDC，即可判斷出∠EMC=∠EMF+∠CMF=2∠BDC，再根據∠DBC=30°，求出∠BDC的度數，即可求出∠EMC的度數是多少．
（2）①首先根據全等三角形判定的方法，判斷出△FEM≌△DGM，即可判斷出EM=GM；然后在Rt△GEC中，CM=$\frac{1}{2}$EG=EM，據此判斷出ME=MC即可．
②首先分別延長FE，DB交于點H，然后根據全等三角形判定的方法，判斷出△FEB≌△HEB，即可判斷出FE=HE；再根據FM=MD，可得EM∥HD，據此求出∠7的度數是多少；最后根據ME=MC，求出∠EMC的度數是多少即可．

解答 解：（1）如圖1，
，
∵∠BEF=90°，
∴∠DEF=90°，
∵點M是DF的中點，
∴ME=MD，
∵∠BCD=90°，點M是DF的中點，
∴MC=MD，
∴ME=MC；
∵ME=MD，
∴∠MDE=∠MED，
∴∠EMF=∠MDE+∠MED=2∠MDE，
∵MC=MD，
∴∠MDC=∠MCD，
∴∠CMF=∠MDC+∠MCD=2∠MDC，
∴∠EMC=∠EMF+∠CMF=2（∠MDE+∠MDC）=2∠BDC，
又∵∠DBC=30°，
∴∠BDC=90°-30°=60°，
∴∠EMC=2∠BDC=2×60°=120°．

（2）①ME=MC仍然成立．
證明：如圖2，分別延長EM，CD交于點G，
，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°．
∵∠BEF=90°，
∴∠FEB+∠DCB=180°．
∵點E在CB的延長線上，
∴FE∥DC．
∴∠1=∠G．
∵M是DF的中點，
∴FM=DM．
在△FEM和△DGM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠G}\\{∠2=∠3}\\{FM=DM}\end{array}\right.$，
∴△FEM≌△DGM，
∴ME=GM，
∴在Rt△GEC中，
MC=$\frac{1}{2}$EG=ME，
∴ME=MC． 
②如圖3，分別延長FE，DB交于點H，
，
∵∠4=∠5，∠4=∠6，
∴∠5=∠6．
∵點E在直線FH上，∠FEB=90°，
∴∠HEB=∠FEB=90°．
在△FEB和△HEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FEB=∠HEB}\\{EB=EB}\\{∠5=∠6}\end{array}\right.$，
∴△FEB≌△HEB．
∴FE=HE．
∵FM=MD，
∴EM∥HD，
∴∠7=∠4=30°，
∵ME=MC，
∴∠7=∠8=30°，
∴∠EMC=180°-∠7-∠8=180°-30°-30°=120°． 
故答案為：ME=MC，120．

點評 （1）此題主要考查了四邊形綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應用，考查了數形結合思想的應用．
（2）此題還考查了全等三角形的判定，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①判定定理1：SSS--三條邊分別對應相等的兩個三角形全等．②判定定理2：SAS--兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．③判定定理3：ASA--兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等．④判定定理4：AAS--兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．