Question

12．如圖，直線y=x-4與x軸、y軸分別交于M、N兩點，⊙O的半徑為2，將⊙O以每秒1個單位的速度向右作平移運動，當移動時間4-2$\sqrt{2}$或4+2$\sqrt{2}$秒時，直線MN恰好與圓相切．

Answer 1

分析 作EF平行于MN，且與⊙O切，交x軸于點E，交y軸于點F，設直線EF的解析式為y=x+b，由⊙O與直線EF相切結合三角形的面積即可得出關于b的含絕對值符號的一元一次方程，解方程即可求b值，從而得出點E的坐標，根據(jù)運動的相對性，即可得出結論．

解答 解：作EF平行于MN，且與⊙O切，交x軸于點E，交y軸于點F，如圖所示．
設直線EF的解析式為y=x+b，即x-y+b=0，
∵EF與⊙O相切，且⊙O的半徑為2，
∴$\frac{1}{2}$b²=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{2}$|b|，
解得：b=2$\sqrt{2}$或b=-2$\sqrt{2}$，
∴直線EF的解析式為y=x+2$\sqrt{2}$或y=x-2$\sqrt{2}$，
∴點E的坐標為（2$\sqrt{2}$，0）或（-2$\sqrt{2}$，0）．
令y=x-4中y=0，則x=4，
∴點M（4，0）．
∵根據(jù)運動的相對性，且⊙O以每秒1個單位的速度向右作平移運動，
∴移動的時間為4-2$\sqrt{2}$秒或4+2$\sqrt{2}$秒．
故答案為：4-2$\sqrt{2}$或4+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了直線與圓的位置關系、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及平移的性質，解題的關鍵是求出點E、M的坐標．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題時，巧妙的利用運動的相對性變移圓為移直線，降低了解題的難度．