Question

17．已知AB是⊙O的直徑，PB是⊙O的切線，C是⊙O上的點(diǎn)，AC∥OP，M是直徑AB上的動點(diǎn)，A與直線CM上的點(diǎn)連線距離的最小值為d，B與直線CM上的點(diǎn)連線距離的最小值為f．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）設(shè)OP=$\frac{3}{2}$AC，求∠CPO的正弦值；
（3）設(shè)AC=9，AB=15，求d+f的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠OCA，由平行線的性質(zhì)得到∠A=∠BOP，∠ACO=∠COP，等量代換得到∠COP=∠BOP，由切線的性質(zhì)得到∠OBP=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）過O作OD⊥AC于D，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CD•OP=OC²，根據(jù)已知條件得到$\frac{OC}{OP}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；
（3）連接BC，根據(jù)勾股定理得到BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{\;}}$=12，當(dāng)M與A重合時(shí)，得到d+f=12，當(dāng)M與B重合時(shí)，得到d+f=9，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∵AC∥OP，
∴∠A=∠BOP，∠ACO=∠COP，
∴∠COP=∠BOP，
∵PB是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，
∴∠OBP=90°，
在△POC與△POB中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{∠COP=∠BOP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△COP≌△BOP，
∴∠OCP=∠OBP=90°，
∴PC是⊙O的切線；
（2）過O作OD⊥AC于D，
∴∠ODC=∠OCP=90°，CD=$\frac{1}{2}$AC，
∵∠DCO=∠COP，
∴△ODC∽△PCO，
∴$\frac{CD}{OC}=\frac{OC}{PO}$，
∴CD•OP=OC²，
∵OP=$\frac{3}{2}$AC，
∴AC=$\frac{2}{3}$OP，
∴CD=$\frac{1}{3}$OP，
∴$\frac{1}{3}$OP•OP=OC²
∴$\frac{OC}{OP}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sin∠CPO=$\frac{OC}{OP}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）連接BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AC⊥BC，
∵AC=9，AB=15，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{\;}}$=12，
當(dāng)CM⊥AB時(shí)，
d=AM，f=BM，
∴d+f=AM+BM=15，
當(dāng)M與B重合時(shí)，
d=9，f=0，
∴d+f=9，
∴d+f的取值范圍是：9≤d+f≤15．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．