Question

6．如圖，在平面直角坐標系中，點B（12，10），過點B作x軸的垂線，垂足為A．作y軸的垂線，垂足為C．點D從O出發(fā)，沿y軸正方向以每秒1個單位長度運動；點E從O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒3個單位長度運動；點F從B出發(fā)，沿BA方向以每秒2個單位長度運動．當點E運動到點A時，三點隨之停止運動．運動過程中△ODE關(guān)于直線DE的對稱圖形是△O′DE，設運動時間為t．
（1）用含t的代數(shù)式分別表示點E，點F的坐標．
（2）若△ODE與以點A，E，F(xiàn)為頂點的三角形相似，求t的值．
（3）是否存在這樣的t，使得以D，E，F(xiàn)，O′所圍成的四邊形中有一組對邊平行？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題可得OE=3t，OD=t，BF=2t，易證四邊形OABC是矩形，從而可得AB=OC=10，BC=OA=12，從而可求出OE、AF，即可得到點E、F的坐標；
（2）只需分兩種情況（①△ODE∽△AEF，②△ODE∽△AFE）討論，然后運用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題；
（3）過點O′作x軸的平行線與y軸交于點M，與過點E的y軸的平行線交于點N，如圖1，易得△MDO′∽△NO′E，設MO′=a，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得到a與t的關(guān)系，從而將點O′的坐標用t的代數(shù)式表示，然后分兩種情況（①DO′∥EF，如圖2，②OF∥DE，如圖3）討論，然后運用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題．

解答 解：（1）由題可得OE=3t，OD=t，BF=2t．
∵BA⊥x軸，BC⊥y軸，∠AOC=90°，
∴∠AOC=∠BAO=∠BCO=90°，
∴四邊形OABC是矩形，
∴AB=OC，BC=OA．
∵B（12，10），
∴BC=OA=12，AB=OC=10，
∴AF=10-2t，AE=12-3t，
∴點E的坐標為（3t，0），點F的坐標為（12，10-2t）；

（2）①當△ODE∽△AEF時，
則有$\frac{OD}{AE}$=$\frac{OE}{AF}$，
∴$\frac{t}{12-3t}$=$\frac{3t}{10-2t}$，
解得t₁=0（舍），t₂=$\frac{26}{7}$；
②當△ODE∽△AFE時，
則有$\frac{OD}{AF}$=$\frac{OE}{AE}$，
∴$\frac{t}{10-2t}$=$\frac{3t}{12-3t}$，
解得t₁=0（舍），t₂=6．
∵點E運動到點A時，三點隨之停止運動，
∴3t≤12，
∴t≤4．
∵6＞4，∴t=6舍去，
綜上所述：t的值為$\frac{26}{7}$；

（3）過點O′作x軸的平行線與y軸交于點M，與過點E的y軸的平行線交于點N，如圖1，

則有∠DMN=90°，∠N=90°．
由折疊可得DO′=DO=t，O′E=OE=3t，∠DO′E=∠DOE=90°，
∴∠DMO′=∠N=90°，∠MDO′=90°-∠MO′D=∠NO′E，
∴△MDO′∽△NO′E，
∴$\frac{MO′}{NE}$=$\frac{MD}{NO′}$=$\frac{O′D}{EO′}$=$\frac{t}{3t}$=$\frac{1}{3}$，
∴NE=3MO′，NO′=3MD．
設MO′=a，
則有OM=NE=3a，NO′=3t-a，MD=3a-t，
∴3t-a=3（3a-t），
解得：a=$\frac{3}{5}$t，
∴MO′=$\frac{3}{5}$t，OM=$\frac{9}{5}$t，
∴點O′的坐標為（$\frac{3}{5}$t，$\frac{9}{5}$t）．
①若DO′∥EF，如圖2，

延長O′D交x軸于S，
則有O′M∥OS，∠DSE=∠FEA，
∴∠MO′D=∠DSE=∠FEA．
∵∠O′MD=∠EAF=90°，
∴△O′MD∽△EAF，
∴$\frac{MO′}{AE}$=$\frac{MD}{AF}$，
∴$\frac{\frac{3}{5}t}{12-3t}$=$\frac{\frac{9}{5}t-t}{10-2t}$，
解得：t₁=0（舍去），t₂=3；
②若OF∥DE，如圖3，

過點O′作x軸的平行線與AB交于點Q，延長DE交BA的延長線于點T，
同①可得△DOE∽△FQO′，
∴$\frac{OD}{QF}$=$\frac{OE}{QO′}$，
∴$\frac{t}{\frac{9}{5}t-（10-2t）}$=$\frac{3t}{12-\frac{3}{5}t}$，
解得t₁=0（舍去），t₂=$\frac{7}{2}$．
綜上所述：t的值為3或$\frac{7}{2}$．

點評 本題主要考查了線相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)等知識，運用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．