Question

1．如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A（5，0），B（-3，0），C（0，4），過C作CD∥x軸交拋物線于D，連結(jié)BC、AD兩個動點P、Q分別從A、B兩點同時出發(fā)，都以每秒1個單位長度的速度運動，其中，點P沿著線段AB向B點運動，點Q沿著折線B→C→D的路線向D點運動，設(shè)這個兩個動點運動的時間為t（秒）（0＜t＜7），△PQB的面積記為S．
（1）求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當t為何值時，S有最大值，最大值是多少？
（4）是否存在這樣的t值，使得△PQB是直角三角形？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用交點式將A，B代入求出答案；
（2）分別利用當0＜t≤5時，S=$\frac{1}{2}$PB•QF，當5≤t＜7時，Q點的縱坐標為4，PB=8-t，S=$\frac{1}{2}$（8-t）×4進而得出答案；
（3）利用一次函數(shù)增減性以及二次函數(shù)最值求法分別得出最值即可；
（4）利用直角三角形的性質(zhì)∠PQB=90°，進而得出△BOC∽△BQP，求出答案即可．

解答 解：（1）拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A（5，0），B（-3，0），
∴設(shè)y=a（x+3）（x-5），
∴4=a（0+3）（0-5），
解得：a=-$\frac{4}{15}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{4}{15}$（x+3）（x-5）=-$\frac{4}{15}$x²+$\frac{8}{15}$x+4；

（2）①∵C（0，4），拋物線對稱軸為：x=-$\frac{2a}$=1，
∴D（2，4），
（i）當0＜t≤5時，QB=t，PB=8-t，
如圖所示：過點Q作QF⊥x軸于F，則QF=$\frac{4}{5}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$PB•QF=$\frac{1}{2}$（8-t）•$\frac{4}{5}$t=-$\frac{2}{5}$t²+$\frac{16}{5}$t；
（ii）當5≤t＜7時，Q點的縱坐標為4，PB=8-t，
S=$\frac{1}{2}$（8-t）×4=-2t+16；

（3）（i）當0＜t≤5時，S=-$\frac{2}{5}$t²+$\frac{16}{5}$t=-$\frac{2}{5}$（t-4）²+$\frac{32}{5}$，
∵-$\frac{2}{5}$＜0，
∴當t=4時，S有最大值，為$\frac{32}{5}$，
（ii）當5≤t＜7時，S=-2t+16，
∵-2＜0，
∴S隨t的增大而減小，
∴當t=5時，S最大=6，
綜合（i）（ii），當t=4時，S有最大值，最大值為$\frac{32}{5}$；

（4）存在，
t=3或t=5時，△PQB是直角三角形；
當點Q在線段BC上（不與C重合）時，要使得△PQB是直角三角形，必須使得∠PQB=90°，
這時，∠CBO=∠PBQ，∠BQP=∠OC，
∴△BOC∽△BQP，
∴$\frac{QB}{BP}$=$\frac{OB}{BC}$，即$\frac{t}{8-t}$=$\frac{3}{5}$，
解得：t=3，
當點Q與C重合時，符合要求，
∵BO=3，CO=4，
∴BC=5，
∴Q點從A到需要5秒，即此時t=5秒．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及函數(shù)最值求法等知識，正確利用分段函數(shù)得出其最值是解題關(guān)鍵．