Question

11．如圖，在△ABC中，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F分別在AB、AC上，AD交EF于點(diǎn)H．
（1）求證：$\frac{AH}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$；
（2）若四邊形EFPQ為正方形，求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出EQ=HD=FP，EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)推出即可；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出y=4-$\frac{4}{5}$x，求出矩形的面積，求出二次函數(shù)的最值即可．

解答 解：
（1）證明：∵四邊EFPQ是矩形，
∴EQ=HD=FP，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AH}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$（相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比等于相似比）；

（2）解：設(shè)矩形EFPQ的另一邊長(zhǎng)為y，則HD=y，
由（1）得$\frac{4-y}{4}=\frac{x}{5}$，
解之得：y=4-$\frac{4x}{5}$，
于是矩形EFPQ的面積為：
S=xy
=x（4-$\frac{4x}{5}$），
=-$\frac{4}{5}$（x-$\frac{5}{2}$）²+5，
故當(dāng)x=2.5時(shí)，矩形EFPQ的面積最大，最大值是5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：矩形的對(duì)邊相等且平行，相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，題目是一道中等題，難度適中．