Question

20．已知二次函數(shù)y=mx²-（2m+1）x+2；
（1）求證：該二次函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)；
（2）若該函數(shù)與x軸交點(diǎn)分別為A，B，且AB=4．求m的值．

Answer 1

分析 （1）首先求得判別式，證得△≥0，繼而證得結(jié)論；
（2）先設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由根與系數(shù)的關(guān)系代入等式AB=4中，得到關(guān)于m的方程，解出即可．

解答 （1）證明：△=[-（2m+1）]²-4m×2=4m²-4m+1=（2m-1）²
∵無論m取何值，（2m-1）²均為非負(fù)數(shù)，
即（2m-1）²≥0，
∴二次函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)；

（2）解：設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），
當(dāng)y=0時(shí)，mx²-（2m+1）x+2=0，
則x₁+x₂=$\frac{2m+1}{m}$，x₂•x₁=$\frac{2}{m}$，
∵AB=4，
∴|x₁-x₂|=4，
（x₁-x₂）²=16，
x12-2x₁x₂+x22=16，
（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16，
${（\frac{2m+1}{m}）}^{2}$$-4×\frac{2}{m}$=16，
整理得：（2m+1）（6m-1）=0，
解得：m=$-\frac{1}{2}$或m=$\frac{1}{6}$．
當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時(shí)，△=0，函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；
∴m=$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，利用根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．