Question

2．對(duì)于每個(gè)非零自然數(shù)n，拋物線y=x²-$\frac{2n+1}{n（n+1）}$x+$\frac{1}{n（n+1）}$與x軸交于A_n，B_n兩點(diǎn)，以A_n，B_n表示這兩點(diǎn)間的距離，則A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₃B₂₀₁₃+A₂₀₁₄B₂₀₁₄的值是$\frac{2014}{2015}$．

Answer 1

分析 先轉(zhuǎn)換拋物線解析式為兩點(diǎn)式：y=x²-$\frac{2n+1}{n（n+1）}$x+$\frac{1}{n（n+1）}$=（x-$\frac{1}{n}$）（x-$\frac{1}{n+1}$），則易求該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)；然后根據(jù)兩點(diǎn)間的坐標(biāo)差求出距離，找出規(guī)律解答即可．

解答 解：y=x²-$\frac{2n+1}{n（n+1）}$x+$\frac{1}{n（n+1）}$=（x-$\frac{1}{n}$）（x-$\frac{1}{n+1}$），
則故拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{n}$，0）、（$\frac{1}{n+1}$，0）．
由題意知，A_nB_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
那么，A₁B₁+A₂B₂…+A₂₀₁₃B₂₀₁₃+A₂₀₁₄B₂₀₁₄，
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2014}$）+（$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$），
=1-$\frac{1}{2015}$，
=$\frac{2014}{2015}$，
故答案為$\frac{2014}{2015}$．

點(diǎn)評(píng) 題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，在解答過(guò)程中，注意二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系，并從中擇取有用信息解題；求兩點(diǎn)間的距離時(shí)，要利用兩點(diǎn)間的坐標(biāo)差來(lái)解答．