Question

20．直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直線l過點(diǎn)C．
（1）當(dāng)AC=BC時(shí)，如圖1，分別過點(diǎn)A和B作AD⊥直線l于點(diǎn)D，BE⊥直線l于點(diǎn)E．△ACD與△CBE是否全等，并說明理由；
（2）當(dāng)AC=8cm，BC=6cm時(shí)，如圖2，點(diǎn)B與點(diǎn)F關(guān)于直線l對稱，連接BF、CF（BF⊥直線l，BC=CF）．點(diǎn)M是AC上一點(diǎn)，點(diǎn)N是CF上一點(diǎn)，分別過點(diǎn)M、N作MD⊥直線l于點(diǎn)D，NE⊥直線l于點(diǎn)E．點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A→C路徑運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn) 為C．點(diǎn)N從F點(diǎn)出發(fā)，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路徑運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為F．點(diǎn)M、N同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，各自達(dá)到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請求出所有使△MDC與△CEN全等的t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同角的余角相等得到∠DAC=∠ECB，根據(jù)全等三角形的判定定理證明即可；
（2）分點(diǎn)N沿F→C路徑運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)N沿C→B路徑運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)N沿B→C路徑運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)N沿C→F路徑運(yùn)動(dòng)四種情況計(jì)算即可．

解答 解：（1）△ACD≌△CBE，
理由如下：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵AD⊥直線l，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ACD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CEB}\\{∠DAC=∠CEB}\\{CA=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE；
（2）由題意得，CF=BC=6cm，
由（1）得，∠DAC=∠ECB，∠ADC=∠CEB，
∴當(dāng)CM=CN時(shí)，△MDC≌△CEN，
當(dāng)點(diǎn)N沿F→C路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，8-t=6-3t，
解得，t=-1，不合題意，
當(dāng)點(diǎn)N沿C→B路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，8-t=3t-6，
解得，t=3.5，
當(dāng)點(diǎn)N沿B→C路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，8-t=3t-12，
解得，t=5，
當(dāng)點(diǎn)N沿C→F路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，8-t=3t-18，
解得，t=6.5，
綜上所述，當(dāng)t=3.5秒或5秒或6.5秒時(shí)，△MDC≌△CEN．

點(diǎn)評 本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．