Question

3．如圖，點E、F分別是?ABCD的邊BC、AD上的點，AE平分∠BAC、CF平分∠ACD．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）若AE=BE，∠BAC=90°，求證：四邊形AECF是菱形．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)可得AB=CD，AD=BC，且∠B=∠D，再由CE=AF，可得BE=DF，即可利用SAS定理判定△ABE≌△CDF；
（2）首先證明四邊形AECF是平行四邊形，再根據(jù)AE=BE，可得∠ABE=∠BAE，由∠BAC=90°可得∠ABE+∠ACE=90°，∠BAE+∠EAC=90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠ACE=∠EAC，進(jìn)而得到AE=EC，由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形證出結(jié)論．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，∠B=∠D，AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵AE平分∠BAC、CF平分∠ACD，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$BAC，∠FCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠D}\\{AB=CD}\\{∠BAE=∠DCF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∵CE=AF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵AE=BE，
∴∠ABE=∠BAE，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABE+∠ACE=90°，∠BAE+∠EAC=90°．
∴∠ACE=∠EAC，
∴AE=CE，
∴平行四邊形AECF是菱形．
∴四邊形AECF是菱形．

點評 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定，以及菱形的判定，關(guān)鍵是掌握①平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等，對角相，對角線互相平分，②菱形的判定定理：①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四條邊都相等的四邊形是菱形．