Question

13．如圖，已知點A（6，0），B（0，2$\sqrt{3}$），O為坐標原點，點O關(guān)于直線AB的對稱點C恰好落在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象上，求k的值．

Answer 1

分析 先連接OC，在Rt△AOB中，利用三角函數(shù)得出∠BAO，再由對稱性得出∠AOC，得出△AOC是等邊三角形，過點C作CF⊥AO于F點，利用三角函數(shù)得出CF，即可得出點C的坐標，再求k的值即可．

解答 解：∵點A（6，0），B（0，$2\sqrt{3}$），
∴OA=6，OB=$2\sqrt{3}$．
在Rt△AOB中，tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴∠BAO=30°，
連接OC，
∵點O關(guān)于直線AB的對稱點是C，
∴OC⊥AB，則∠AOC=60°，
∴△AOC為等邊三角形，且AO=CO=6，
過點C作CF⊥AO于F點，
則OF=$\frac{1}{2}$OA=3，CF=OC•sin∠FOC=$3\sqrt{3}$，
則點C的坐標為（3，$3\sqrt{3}$）
∵C在反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}（k＞0）$的圖象上，
∴$k=3×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，本題是一道綜合性的題目，涉及到的知識點有三角函數(shù)、對稱以及用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，難度中等．