Question

14．如圖，四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A₁B₁C₁D₁，再順次連接四邊形A₁B₁C₁D₁各邊中點(diǎn)，得到四邊形A₂B₂C₂D₂，如此進(jìn)行下去，得到四邊形A_nB_nC_nD_n．
（1）求證：四邊形A₁B₁C₁D₁是矩形；
（2）四邊形A₃B₃C₃D₃是矩形；
（3）四邊形A₁B₁C₁D₁的周長(zhǎng)為a+b；
（4）四邊形A_nB_nC_nD_n的面積為$\frac{ab}{{2}^{n+1}}$．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位線定理得出A₁D₁∥BD，B₁C₁∥BD，C₁D₁∥AC，A₁B₁∥AC，進(jìn)而得出四邊形A₁B₁C₁D₁是平行四邊形，再利用矩形的判定得出答案；
（2）直接利用矩形的性質(zhì)以及結(jié)合菱形的判定方法得出答案；
（3）利用三角形中位線定理得出四邊形A₁B₁C₁D₁是的周長(zhǎng)；
（4）由三角形的中位線的性質(zhì)可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉?lái)的一半，進(jìn)而得出答案．

解答 （1）證明：∵在四邊形ABCD中，順次連接四邊形ABCD 各邊中點(diǎn)，得到四邊形A₁B₁C₁D₁，
∴A₁D₁∥BD，B₁C₁∥BD，C₁D₁∥AC，A₁B₁∥AC；
∴A₁D₁∥B₁C₁，A₁B₁∥C₁D₁，
∴四邊形A₁B₁C₁D₁是平行四邊形；
∵AC丄BD，
∴四邊形A₁B₁C₁D₁是矩形；

（2）解：∵四邊形A₁B₁C₁D₁是矩形，
∴B₁D₁=A₁C₁（矩形的兩條對(duì)角線相等）；
∴A₂D₂=C₂D₂=C₂B₂=B₂A₂（中位線定理），
∴四邊形A₂B₂C₂D₂是菱形；
∴四邊形A₃B₃C₃D₃是矩形，
故答案為：矩；

（3）解：根據(jù)三角形中位線定理可得D₁C₁=A₁B₁=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$a，A₁D₁=B₁C₁=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$b．故四邊形A₁B₁C₁D₁是的周長(zhǎng)為a+b，
故答案為：a+b．

（4）解：∵四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，
∴S_{四邊形ABCD}=ab÷2；
由三角形的中位線的性質(zhì)可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉?lái)的一半，
四邊形AnBnCnDn的面積是$\frac{ab}{{2}^{n+1}}$．
故答案為：$\frac{ab}{{2}^{n+1}}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了中點(diǎn)四邊形以及三角形中位線定理，正確掌握矩形以及菱形的判定方法是解題關(guān)鍵．