Question

如果兩個(gè)等腰三角形的頂角相等，周長(zhǎng)相等，求證：這兩個(gè)三角形全等．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定,等腰三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：延長(zhǎng)BC到N，使AC=CN，延長(zhǎng)CB到M，使BM=AB，連接AN、AM，延長(zhǎng)EF到W，使DF=FW，延長(zhǎng)FE到Q，使EQ=DE，連接DQ、DW，求出MN=QW，∠M=∠Q=∠N=∠W，∠MAB=∠QDE，根據(jù)ASA推出△AMN≌△DQW，求出DQ=AM，再根據(jù)ASA推出△ABM≌△DEQ，求出AB=DE，AC=DF，根據(jù)全等三角形的判定推出即可．

解答：已知：△ABC和△DEF是等腰三角形，AB=AC，DE=DF，∠A=∠D，AB+AC+BC=DE+DF+EF，
求證：△ABC≌△DEF，
證明：如圖，延長(zhǎng)BC到N，使AC=CN，延長(zhǎng)CB到M，使BM=AB，連接AN、AM，延長(zhǎng)EF到W，使DF=FW，延長(zhǎng)FE到Q，使EQ=DE，連接DQ、DW，
∵AB+AC+BC=DE+DF+EF，
∴MN=QW，
∵AB=AC，DE=DF，∠A=∠D，
∴∠ABC=∠ACB=∠DEF=∠DFW
∵AB=BM，
∴∠M=∠MAB，
∵∠M+∠MAB=∠ABC，
∴∠M=∠MAB=

1

2

∠ABC，
同理：∠N=∠NAC=

1

2

∠ACB，∠Q=∠QDE=

1

2

∠DEF，∠W=∠WDF=

1

2

∠DFE，
∴∠M=∠Q=∠N=∠W，∠MAB=∠QDE，
在△AMN和△DQW中，

∠M=∠∠Q MN=QW ∠N=∠W

，
∴△AMN≌△DQW（ASA），
∴DQ=AM，
在△ABM和△DEQ中，

∠M=∠Q AM=DQ ∠MAB=∠QDE

，
∴△ABM≌△DEQ（ASA），
∴AB=DE，
∵AB=AC，DE=DF，
∴AC=DF，
在△ABC和△DEF中，

AB=DE ∠BAC=∠EDF AC=DF

，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線，題目比較好，有一定的難度．