Question

10．如圖，已知△ABC中，AB=AC，E，D，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形AEDF是菱形；
（2）若∠B=30°，BC=4$\sqrt{3}$，求四邊形AEDF的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC利用中位線的性質(zhì)可得DE=DF，四邊形AEDF為平行四邊形，由鄰邊相等的平行四邊形是菱形證得結(jié)論；
（2）首先由等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”得AD⊥BC，BD=BC=$\frac{1}{2}BC=2\sqrt{3}$，由銳角三角函數(shù)定義得AE，易得四邊形AEDF的周長(zhǎng)．

解答 （1）證明：∵E，D，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點(diǎn)，
∴DE∥AF且DE=$\frac{1}{2}AC$=AF，
∴四邊形AEDF為平行四邊形，
同理可得，DF∥AB且DF=$\frac{1}{2}AB=AE$，
∵AB=AC，
∴DE=DF，
∴四邊形AEDF是菱形；

（2）解：連接AD，
∵AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，BD=BC=$\frac{1}{2}BC=2\sqrt{3}$，
∴AE=$\frac{BD}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
∵四邊形AEDF是菱形，
∴四邊形AEDF的周長(zhǎng)為4×4=16．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了菱形的判定及性質(zhì)定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)定理，綜合運(yùn)用各定理是解答此題的關(guān)鍵．