Question

1．如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，AE垂直x軸于E點(diǎn)，已知$OA=\sqrt{10}$，OE=3AE，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，-2）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式．
（2）求一次函數(shù)的解析式．
（3）在y軸上存在一點(diǎn)P，使得△PDC與△ODC相似，請(qǐng)你求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）過(guò)A作AE垂直x軸，垂足為E，根據(jù)OE=3AE，以及OA的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AE與OE的長(zhǎng)，確定出A的坐標(biāo)，代入雙曲線解析式求出k的值，即可確定出反比例解析式；
（2）把B坐標(biāo)代入反比例解析式求出m的值，確定出B坐標(biāo)，再由A坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式即可；
（3）過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AB，垂足為點(diǎn)C，求出一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)確定出C與D坐標(biāo)，求出DC的長(zhǎng)，由△PDC與△ODC相似，得比例，求出PD的長(zhǎng)，由PD-OD求出OP的長(zhǎng)，即可確定出P坐標(biāo)．

解答 解：（1）過(guò)A作AE垂直x軸，垂足為E，
∵OE=3AE，OA=$\sqrt{10}$，
∴在Rt△AOE中，根據(jù)勾股定理得：OE²+AE²=10，
∴AE=1，OE=3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，1）．
∵A點(diǎn)在雙曲線上，
∴1=$\frac{k}{3}$，即k=3，
則雙曲線的解析式為y=$\frac{3}{x}$；
（2）∵點(diǎn)B（m，-2）在雙曲線y=$\frac{3}{x}$上，
∴-2=$\frac{3}{m}$，
∴m=-$\frac{3}{2}$，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，-2），
設(shè)一次函數(shù)解析式為y=ax+b，
把A與B坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=1}\\{-\frac{3}{2}a+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
則一次函數(shù)的解析式為y=$\frac{2}{3}$x-1；
（3）過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AB，垂足為點(diǎn)C，
∵C，D兩點(diǎn)在直線y=$\frac{2}{3}$x-1上，
∴C，D的坐標(biāo)分別是：C（$\frac{3}{2}$，0），D（0，-1），即OC=$\frac{3}{2}$，OD=1，
∴DC=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∵△PDC∽△CDO，
∴$\frac{PD}{DC}$=$\frac{DC}{OD}$，
∴PD=$\frac{D{C}^{2}}{OD}$=$\frac{13}{4}$，
又OP=DP-OD=$\frac{13}{4}$-1=$\frac{9}{4}$，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{9}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定反比例、一次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．