Question

15．已知，AB是圓O的直徑，取一把直角三角尺，按如圖位置擺放，其中直角頂點(diǎn)放在圓心O上，兩條直角邊與圓O相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，作ME⊥AB，垂足為點(diǎn)E，NF⊥AB，垂足為點(diǎn)F．
（1）試說(shuō)明EF=ME+NF的理由．
（2）如果將這把直角三角尺繞圓心O旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)M，N與點(diǎn)A，B都不重合），那么EF與ME，NF之間的數(shù)量關(guān)系是否會(huì)發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請(qǐng)寫出它們的數(shù)量關(guān)系；如果不發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用HL證明△MOE≌△NOF，得到ME=OF，NF=OE，即可證明結(jié)論；
（2）運(yùn)用類比思想，分別探究當(dāng)E、F在點(diǎn)O兩側(cè)時(shí)和當(dāng)E、F在點(diǎn)O同側(cè)時(shí)，三條線段的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：（1）如圖1所示，
∵三角尺的兩條直角邊分別與⊙O交于M、N兩點(diǎn)；直角頂點(diǎn)在圓心O上，
∴OM=ON，∠MPN=90°，
∵M(jìn)E⊥AB，NF⊥AB，
∴∠OEM=∠OFN=90°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴△MOE≌△NOF（HL），
∴ME=OF，NF=OE，
∴EF=OE+OF=NF+ME；

（2）EF與ME、NF的數(shù)量關(guān)系發(fā)生變化
當(dāng)E、F在點(diǎn)O兩側(cè)時(shí)，如圖1所示，EF=ME+NF；
當(dāng)E、F在點(diǎn)O同側(cè)時(shí)，同（1）可證△MOE≌△NOF，
∴ME=OF，NF=OE，
如圖2所示，當(dāng)OF＞OE時(shí)，EF=OF-OE=ME-NF，
如圖3所示，當(dāng)OE＞OF時(shí)，EF=OE-OF=NF-ME．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，運(yùn)用類比思想探究E、F在不同位置三線段的數(shù)量關(guān)系如何變化．