Question

11．如圖1，△ABC中，沿∠BAC的平分線AB₁折疊，剪掉重疊部分；將余下部分沿B₁A₁C的平分線A₁B₂折疊，剪掉重疊部分；…；將余下部分沿B_nA_nC的平分線A_nB_n+1折疊，點B_n與點C重合，無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，我們就稱∠BAC是△ABC的好角．

小麗展示了確定∠BAC是△ABC的好角的兩種情況．情形一：如圖2，沿等腰三角形△ABC頂角∠BAC的平分線AD折疊，點B與點C重合；情形二：如圖3，沿△ABC的∠BAC的平分線AB₁折疊，剪掉重疊部分；將余下的部分沿B₁A₁C的平分線A₁B₂折疊，此時點B₁與點C重合．
探究發(fā)現(xiàn)
（1）△ABC中，∠B=2∠C，經(jīng)過兩次折疊，∠BAC是不是△ABC的好角？是（填“是”或“不是”）
（2）小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了∠BAC是△ABC的好角，請?zhí)骄俊螧與∠C（不妨設∠B＞∠C）之間的等量關系，并說明理由．根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過n 次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C不妨設∠B＞∠C）之間的等量關系為∠B=n∠C．
應用提升
（3）小麗找到一個三角形，三個角分別為15°，60°，105°，發(fā)現(xiàn)60°和105°的兩個角都是此三角形的好角．請你完成，如果一個三角形的最小角是5°，試求出三角形另外兩個角的度數(shù)，使該三角形的三個角均是此三角形的好角．

Answer 1

分析 （1）仔細分析題意根據(jù)折疊的性質(zhì)及“好角”的定義即可作出判斷；
（2）因為經(jīng)過三次折疊∠BAC是△ABC的好角，所以第三次折疊的∠A₂B₂C=∠C，由∠ABB₁=∠AA₁B₁，∠AA₁B₁=∠A₁B₁C+∠C，又∠A₁B₁C=∠A₁A₂B₂，∠A₁A₂B₂=∠A₂B₂C+∠C，∠ABB₁=∠A₁B₁C+∠C=∠A₂B₂C+∠C+∠C=3∠C，由此即可求得結(jié)果；
（3）因為最小角是5°是△ABC的好角，根據(jù)好角定義，則可設另兩角分別為5m°，5mn°（其中m、n都是正整數(shù)），由題意得5m+5mn+5=180，所以m（n+1）=35，再根據(jù)m、n都是正整數(shù)可得 m與n+1是35的整數(shù)因子，從而可以求得結(jié)果．

解答 解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，經(jīng)過兩次折疊，∠BAC是△ABC的好角；
理由如下：小麗展示的情形二中，
∵沿∠BAC的平分線AB1折疊，
∴∠B=∠AA₁B₁；
又∵將余下部分沿∠B₁A₁C的平分線A1B2折疊，此時點B₁與點C重合，
∴∠A₁B₁C=∠C；
∵∠AA₁B₁=∠C+∠A₁B₁C（外角定理），
∴∠B=2∠C；
故答案是：是；
（2）∠B=3∠C；
在△ABC中，沿∠BAC的平分線AB₁折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿∠B₁A₁C的平分線A₁B₂折疊，剪掉重復部分，將余下部分沿∠B₂A₂C的平分線A₂B₃折疊，點B₂與點C重合，則∠BAC是△ABC的好角．
證明如下：∵根據(jù)折疊的性質(zhì)知，∠B=∠AA₁B₁，∠C=∠A₂B₂C，∠A₁B₁C=∠A₁A₂B₂，
∴根據(jù)三角形的外角定理知，∠A₁A₂B₂=∠C+∠A₂B₂C=2∠C；
∵根據(jù)四邊形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA₁B₁-∠A₁B₁C=∠BAC+2∠B-2C=180°，
根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C；
由小麗展示的情形一知，當∠B=∠C時，∠BAC是△ABC的好角；
由小麗展示的情形二知，當∠B=2∠C時，∠BAC是△ABC的好角；
由小麗展示的情形三知，當∠B=3∠C時，∠BAC是△ABC的好角；
故若經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不妨設∠B＞∠C）之間的等量關系為∠B=n∠C；
（3）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，
因為最小角是5°是△ABC的好角，
根據(jù)好角定義，則可設另兩角分別為5m°，5mn°（其中m、n都是正整數(shù)）．
由題意，得5m+5mn+5=180，所以m（n+1）=35．
因為m、n都是正整數(shù)，所以m與n+1是35的整數(shù)因子，
因此有：m=1，n+1=35；m=5，n+1=7；
所以m=1，n=34；m=5，n=6；
所以5m=5，5mn=170；5m=25，5mn=150．
所以該三角形的另外兩個角的度數(shù)分別為：5°，170°；25°，150°．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了折疊問題，找規(guī)律，三角形的內(nèi)角和定理，從折疊有限次數(shù)中找到規(guī)律是解本題的關鍵，也是難點．