Question

2．如圖，已知AB為⊙O的直徑，F(xiàn)為⊙O上一點，AC平分∠BAF且交⊙O于點C，過點C作CD⊥AF于點D，延長AB、DC交于點E，連接BC、CF．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AD=6，DE=8，求BE的長；
（3）求證：AF+2DF=AB．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由AB為⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，求得∠ACB=∠D，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠BAC=∠CAD，通過相似三角形得到∠ABC=∠ACD，等量代換得到∠OCB=∠ACD，求出∠OCD=90°，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理得到AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=10，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{OE}{AE}=\frac{OC}{AD}$，代入數(shù)據(jù)得到r=$\frac{15}{4}$，于是得到結(jié)論；
（3）過C作 CG⊥AE于G，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG=AD，CG=CD，推出Rt△BCG≌Rt△FCD，由全等三角形的性質(zhì)得到BG=FD，等量代換即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接OC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AF，
∴∠D=90°，
∴∠ACB=∠D，
∵AC平分∠BAF，
∴∠BAC=∠CAD，
∴△ABC∽△ACD，
∴∠ABC=∠ACD，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OCB=∠ACD，
∵∠OCB+∠ACO=∠ACO+∠ACD=90°，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切線；

（2）∵AD=6，DE=8，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=10，
∵OC∥AD，
∴∠OCE=∠ADE，
∴△OCE∽△ADE，
∴$\frac{OE}{AE}=\frac{OC}{AD}$，
即$\frac{10-r}{10}=\frac{r}{6}$，
∴r=$\frac{15}{4}$，
∴BE=10-$\frac{15}{2}$=$\frac{5}{2}$；

（3）過C作 CG⊥AE于G，
在△ACG與△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAC=∠DAC}\\{∠CGA=∠CDA}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△ACD，
∴AG=AD，CG=CD，
∵BC=CF，
在Rt△BCG與Rt△FCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CG=CD}\\{BC=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BCG≌Rt△FCD，
∴BG=FD，
∴AF+2DF=AD+DF=AG+GB=AB，
即AF+2DF=AB．

點評 本題考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．