Question

如圖（a），在平面直角坐標系中，A為直線y=-

1

2

x+3上的一點，AB⊥y軸，AC⊥x軸，四邊形ABOC為正方形
（1）求A點的坐標；
（2）如圖（b），M為AB邊上的一個動點，OM的中垂線交x軸于N，連接MN交AC于點R，求△AMR的周長；
（3）如圖（c），若點P為射線OA上任意一點，過P作直線PE、PF，分別與坐標軸交于點E、F（OF＞OE），PE⊥PF，求證：OE+OF=

2

OP．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）A是正方形ABOC的頂點，則橫縱坐標相等，再根據(jù)在直線y=-

1

2

x+3上，即可求解；
（2）設M的橫坐標是m，則M的坐標是（2m，2），把m當作已知數(shù)，利用待定系數(shù)法求得OM的中垂線的解析式，則R的坐標可利用m表示出來，然后利用勾股定理求得MR的長，則三角形的周長即可求得；
（3）作PM⊥x軸于點M，作PN⊥y軸于點N，證明△PNE≌△PMF，證得ME=MF，則OE+OF=OM+ON=

2

OP．

解答：解：（1）在y=-

1

2

x+3中，把y=x代入得x=-

1

2

x+3，
解得：x=2，
則A的坐標是（2，2）；
（2）設M的橫坐標是m，則M的坐標是（2m，2）．
則OM的中點的坐標是（m，1），
設直線OM的解析式是y=kx，則2mk=2，解得：k=

1

m

，
則直線OM的解析式是y=

1

m

x，
設OM的中垂線的解析式是y=-mx+b，則-m²+b=1，
解得：b=m²+1．
則OM的中垂線的解析式是y=-mx+m²+1．
當y=0時，解得：x=

m2+1

m

，則N的坐標是（

m2+1

m

，0）．
設直線MN的解析式是y=ax+c，
則

2am+c=2 m2+1 m a+c=0

，
解得：

a= 2m m2-1 c=- 2(m2+1) m2-1

，
則直線MN的解析式是y=

2m

m2-1

x-

2(m2+1)

m2-1

．
令x=2，則y=

2-2m

m+1

．即R的坐標是（2，

2-2m

m+1

）．
則AR=2-

2-2m

m+1

=

4m

m+1

．
AM=2-m，
MR=

( 4m m+1 )2+(2-2m)2

=

2(m2+1)

m+1

．
則△AMR的周長=

4m

m+1

+（2-m）+

2(m2+1)

m+1

=4；
（3）證明：作PM⊥x軸于點M，作PN⊥y軸于點N．
則四邊形OMNP是正方形，PM=PN=ON=OM=

2

2

OP，∠NPM=90°．
∵PE⊥PF，即∠EPF=90°，
∴∠NPE=∠MPF．
則在△PNE和△PMF中，

∠PNE=∠PMF PN=PM ∠NPE=∠MPF

，
∴△PNE≌△PMF（ASA）．
∴ME=MF，
則OE+OF=OM+ON=

2

OP．

點評：本題考查了一次函數(shù)與三角形的全等的判定與性質(zhì)，利用m表示出AR和MR的長是關鍵．