Question

如圖，矩形ODEF的一邊落在矩形ABCO的一邊上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比為1：4，矩形ABCO的邊AB=4，BC=4

3

．將矩形ODEF繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一周，連接EC、EA，則整個旋轉(zhuǎn)過程中△ACE的最大面積為

 

．

Answer 1

考點：相似多邊形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：先根據(jù)相似多邊形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求出OF=

3

，OD=1，由勾股定理得到OE=

OF2+OD2

=2，將矩形ODEF繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一周，點E的軌跡是以點O為圓心以2為半徑的圓，所以△ACE的AC邊上的高就是點E到AC的距離，也就是AC到圓上的點的距離，最大值為點O到AC的距離與圓的半徑的和，再利用三角形的面積公式求解即可．

解答：解：∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比為1：4，矩形ABCO的邊AB=4，BC=4

3

，
∴OF=

3

，OD=1，
∴OE=

OF2+OD2

=

( 3 )2+12

=2，
所以點E的軌跡為以點O為圓心，以2為半徑的圓，
設(shè)點O到AC的距離為h，
AC=

AB2+BC2

=

42+(4 3 )2

=8，
∴8h=4×4

3

，
解得h=2

3

，
∴當(dāng)點E到AC的距離為2

3

+2時，△ACE的面積有最大值，
S_最大=

1

2

×8（2

3

+2）=8

3

+8．
故答案為8

3

+8．

點評：本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，圓上的點到直線的距離的取值范圍，理解AC邊上的高的最大值為點O到AC的距離與圓的半徑的和是解本題的關(guān)鍵．