Question

如圖，等邊△ABC中，AB=6，將一直角三角板DEF的60°角的頂點E置于邊BC上移動（不與B、C重合），移動過程中，始終滿足直角邊DE經(jīng)過點A，斜邊EF交AC于點G．
（1）求證：△ABE∽△ECG；
（2）在移動過程中，線段CG有沒有最大值？若有，請求出，若沒有，請說明理由．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C=∠AEG=60°，再求出∠BAE=∠CEG即可；
（2）當AE⊥BC時，CG最大，BE=CE=

1

2

BC=3，證明∠AGE=90°，得出CG=

1

2

CE=1.5．

解答：解：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=∠AEG=60°，
∴∠AEB+∠CEG=180°-∠AEG=120°，∠AEB+∠BAE+=180°-∠B=120°，
∴∠BAE=∠CEG，
∵∠B=∠C，
∴△ABE∽△ECG；
（2）線段CG有最大值；當AE⊥BC時，CG最大；
∵△ABC是等邊三角形，AE⊥BC，
∴BE=CE=

1

2

BC=3，∠C=60°，
∵∠AEG=60°，
∴∠CEG=90°-60°=30°，
∴∠AGE=90°，
∴CG=

1

2

CE=1.5．

點評：本題考查了三角形相似的判定，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，主要考查學生推理和計算能力，綜合性比較強，第二問中得出當AE⊥BC時，CG最大是解題的關(guān)鍵．