Question

如圖所示，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BOC=α，∠AOB=β（α、β均不是銳角），將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD．
探求一：
（1）①當(dāng)β=110°，α=120°時(shí)，∠OAD=

 

②當(dāng)β=120°，α=100°時(shí)，∠OAD=

 

③當(dāng)β=130°，α=n°時(shí)，∠OAD=

 

④∠OAD與α、β之間的哪一個(gè)角度有關(guān)系？寫(xiě)出關(guān)系式．
（2）當(dāng)β=100°，α等于多少時(shí)，△ADO是等腰三角形．（直接寫(xiě)出所有情形）
探求二：
①當(dāng)△OAD是等邊三角形時(shí)，求α、β的度數(shù)．
②四邊形ADCO能否成為平行四邊形？若能，說(shuō)明理由；若不能，也請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）①、②、③圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△ADC≌△BOC，故∠BCO=∠ACD，OC=CD，∠ADC=∠BOC．再根據(jù)△ABC是等邊三角形得出△OCD是等邊三角形，進(jìn)而得出∠ADO的度數(shù)，根據(jù)周角的定義得出∠AOD的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；
④由①②③的結(jié)論可找出規(guī)律．
（2）找到變化中的不變量，然后利用旋轉(zhuǎn)及全等的性質(zhì)即可做出解答．
①當(dāng)△AOD是等邊三角形時(shí)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求出α、β的度數(shù)．
②根據(jù)平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等可得出結(jié)論．

解答：解：（1）①∵△ADC由△BOC旋轉(zhuǎn)而成，
∴△ADC≌△BOC，
∴∠BCO=∠ACD，OC=CD，∠ADC=∠BOC=120°，
∵△ACB是等邊三角形，
∴△OCD是等邊三角形，
∴∠CDO=∠DOC=60°．
∴∠ADO=ADC-∠CDO=120°-60°=60°，
∵β=110°，α=120°，∠DOC=60°，
∴∠AOD=360°-110°-120°-60°=70°，
∴∠OAD=180°-70°-60°=50°．
故答案為：50°；

②∵△ADC由△BOC旋轉(zhuǎn)而成，
∴△ADC≌△BOC，
∴∠BCO=∠ACD，OC=CD，∠ADC=∠BOC=100°，
∵△ACB是等邊三角形，
∴△OCD是等邊三角形，
∴∠CDO=∠DOC=60°．
∴∠ADO=ADC-∠CDO=100°-60°=40°，
∵β=120°，α=100°，∠DOC=60°，
∴∠AOD=360°-120°-100°-60°=80°，
∴∠OAD=180°-80°-40°=60°．
故答案為：60°；

③∵△ADC由△BOC旋轉(zhuǎn)而成，
∴△ADC≌△BOC，
∴∠BCO=∠ACD，OC=CD，∠ADC=∠BOC=n°，
∵△ACB是等邊三角形，
∴△OCD是等邊三角形，
∴∠CDO=∠DOC=60°．
∴∠ADO=ADC-∠CDO=n°-60°，
∵β=130°，α=n°，∠DOC=60°，
∴∠AOD=360°-130°-n°-60°=170°-n°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（170°-n°）-（n°-60°）=70°．
故答案為：70°；

④由①②③可知，④∠OAD與β有關(guān)，且∠OAD=β-60°．

（2）若△AOD是等腰三角形，
所以分三種情況：①∠AOD=∠ADO；②∠ODA=∠OAD；③∠AOD=∠DAO，
∵∠AOB=100°，∠COD=60°，
∴∠BOC=360°-100°-60°-∠AOD=200°-∠AOD，
而∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO，
由①∠AOD=∠ADO可得∠BOC=∠AOD+60°，
求得α=130°；
由②∠ODA=∠OAD可得α-60°+α-60°+200°-α=180°，
求得α=100°；
由③∠AOD=∠DAO可得200°-α+200°-α+α-60°=180°，
∠BOC=240°-2∠AOD，
求得α=160°；
綜上可知α=130°、α=100°或α=160°．
①∵△OAD是等邊三角形，
∴∠AOD=∠ADO=60°，
∵∠CDO=60°，△ADC由△BOC旋轉(zhuǎn)而成，
∴α=∠ADO+∠CDO=120°．
∵∠AOD=∠DOC=60°，
∴β=360°-α-∠AOD-∠DOC=360°-120°-60°-60°=120°；

②能．
理由：若四邊形ADCO能成為平行四邊形，
∵∠OCD=60°，
∴∠OCD=∠ADO=60°，
∴∠AOC=∠ADC=

360°-∠OCD-∠OAD

2

=

360°-60°-60°

2

=120°，
∴當(dāng)α=β=120°時(shí)，四邊形ADCO是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是幾何變換綜合題，涉及到圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定等知識(shí)，難度適中．