Question

8．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象的頂點坐標(biāo)為（2，-9），該函數(shù)的圖象與y軸交于點A（0，-5），與x軸交于點B，C
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）求點B的坐標(biāo)；
（3）過點A作AD∥x軸，交二次函數(shù)的圖象于點D，M為二次函數(shù)圖象上一點，設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m，且0＜m≤5，過點M作MN∥y軸，交AD于點N，連接AM，MD，設(shè)△AMD的面積為s．
①求s關(guān)于m的函數(shù)解析式；
②判斷出當(dāng)點M在何位置時，△AMD的面積最大，并求出最大面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頂點坐標(biāo)（2，-9），設(shè)出拋物線頂點形式，將（0，-5）代入求出a的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）當(dāng)y=0時，0=x²-4x-5，求得x的值，即可得出點B的坐標(biāo)；
（3）①先根據(jù)當(dāng)y=-5時，-5=x²-4x-5，求得D（4，-5），再分兩種情況討論：當(dāng)0＜m＜4時，點M在AD的下方的拋物線上；當(dāng)4≤m≤5時，點M在CD之間的拋物線上，分別求得s關(guān)于m的函數(shù)解析式；②分兩種情況，求得當(dāng)點M與點C重合時，△AMD的面積最大，最大面積為10．

解答 解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-h）²+k，
∵頂點坐標(biāo)（2，-9）
∴y=a（x-2）²-9，
將點A（0，-5）代入，得
-5=4a-9，
解得a=1，
∴拋物線解析式為y=（x-2）²-9=x²-4x-5；

（2）當(dāng)y=0時，0=x²-4x-5，
解得x₁=5，x₂=-1，
∴點B的坐標(biāo)（-1，0），點C的坐標(biāo)（5，0）；

（3）①當(dāng)y=-5時，-5=x²-4x-5，
解得x₁=0，x₂=4，
∴D（4，-5），
∵點M的橫坐標(biāo)為m，且0＜m≤5，
∴當(dāng)0＜m＜4時，點M在AD的下方的拋物線上，
設(shè)M（m，m²-4m-5），則
△AMD的面積=$\frac{1}{2}$×AD×MN，即s=$\frac{1}{2}$×4×[-5-（m²-4m-5）]=2（-m²+4m）=-2m²+8m（0＜m＜4）；
當(dāng)4≤m≤5時，點M在CD之間的拋物線上，
△AMD的面積=$\frac{1}{2}$×AD×MN，即s=$\frac{1}{2}$×4×[m²-4m-5-（-5）]=2（m²-4m）=2m²-8m（4≤m≤5）；
綜上所述，s關(guān)于m的函數(shù)解析式為s=$\left\{\begin{array}{l}{-2{m}^{2}+8m（0＜m＜4）}\\{2{m}^{2}-8m（4≤m≤5）}\end{array}\right.$；
②當(dāng)點M與拋物線頂點重合時，m=2，
此時，s=-2×2²+8×2=8，
當(dāng)點M與點C重合時，m=5，
此時，s=2×5²-8×5=10，
∴當(dāng)點M與點C重合時，△AMD的面積最大，最大面積為10．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．解決問題的關(guān)鍵是掌握運用二次函數(shù)的頂點式：y=a（x-h）²+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標(biāo)；解題時注意分類思想的運用．