Question

11．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠ABC=60°．若AD=2$\sqrt{3}$，則△ABC的周長(zhǎng)為12+4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)，再由AD⊥BC于點(diǎn)D，AD=2$\sqrt{3}$得出AC的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出CD的長(zhǎng)，在Rt△ABD中，根據(jù)∠B=60°可得出∠BAD=30°，故AB=2BD，再根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出AB的長(zhǎng)，由此可得出結(jié)論．

解答 解：∵△ABC中，∠BAC=90°，ABC=60°
∴∠C=90°-60°=30°．
∵AD⊥BC于點(diǎn)D，AD=2$\sqrt{3}$，
∴AC=2AD=4$\sqrt{3}$，
∴CD=$\sqrt{{AC}^{2}-{AD}^{2}}$=$\sqrt{{（4\sqrt{3}）}^{2}-{（2\sqrt{3}）}^{2}}$=6．
在Rt△ABD中，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=30°，
∴AB=2BD．
∵AB²=BD²+AD²，即4BD²=BD²+（2$\sqrt{3}$）²，解得BD=2，
∴AB=4，BC=BD+CD=2+6=8，
∴△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=4+4$\sqrt{3}$+8=12+4$\sqrt{3}$．
故答案為：12+4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．