Question

已知：如圖，△ABC內接于⊙O，于H，，過A點的直線與OC的延長線交于點D，，.

（1）求證：AD是⊙O的切線；

（2）若E為⊙O上一動點，連接AE交直線OD于點P，問：是否存在點P,使得PA+PH的值最小，若存在求PA+PH的最小值，若不存在，說明理由.

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）存在，.

【解析】

試題分析：（1）連接AO，求證即可．

（2）求出OH的長，作A關于OD的對稱點F,連接FH交OD于點P，根據對稱性及兩點之間線段最短可知此點P使PA+PH的值最小.

（1）如圖，連接AO.

∵，∴ .

∵AO=CO，∴.∴.

∴AD是⊙O的切線 .

（2）存在.

∵,OA=OC，∴AOC為等邊三角形.

在RtAOD中，∵,，∴.

∵，∴ .

如圖，作A關于OD的對稱點F,連接FH交OD于點P，根據對稱性及兩點之間線段最短可知此點P使PA+PH的值最小.

∴.∴.

∵,OF=10,∴ ,即PA+PH的最小值為.

考點：1.等邊三角形的判定和性質；2.切線的判定；3.軸對稱的應用（最短線路問題）；4.銳角三角函數定義；5.特殊角的三角函數值.