Question

如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D為AC邊上的中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥DF，交AB于E，交BC為F，
（1）求證：BE=CF；
（2）若AE=4，F(xiàn)C=3，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股數(shù)

專題：常規(guī)題型

分析：（1）連接BD，根據(jù)的等腰直角三角形的性質(zhì)證明△BED≌△CFD就可以得出AE=BF，BE=CF；
（2）由AE=BF，F(xiàn)C=BE就可以求得EF的長(zhǎng)．

解答：解：（1）連接BD．

∵D是AC中點(diǎn)，
∴∠ABD=∠CBD=45°，BD=AD=CD，BD⊥AC
∵∠EDB+∠FDB=90°，∠FDB+∠CDF=90°，
∴∠EDB=∠CDF，
在△BED和△CFD中，

∠EBD=∠C BD=CD ∠EDB=∠CDF

，
∴△BED≌△CFD（ASA），
∴BE=CF；
（2）∵AB=CD，BE=CF=3，
∴AE=BF=4
在RT△BEF中，EF=

BE2+BF2

=5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了勾股定理的運(yùn)用，本題中連接BD是解題的關(guān)鍵．