Question

4．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E為AB的中點(diǎn)，求證：四邊形BCDE是菱形．

Answer 1

分析 由題意易證得DE=BE，繼而證得△EBD≌△CBD，則可證得CB=CD=BE=DE，即證四邊形BCDE是菱形．

解答 證明：∵AD⊥BD，E是AB的中點(diǎn)，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB，DE=$\frac{1}{2}$AB，
∴BE=DE，
∴∠EDB=∠EBD，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∵AB∥CD，
∴∠EBD=∠CDB，
∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，
在△EBD和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBD=∠CDB}\\{BD=BD}\\{∠EDB=∠CBD}\end{array}\right.$
∴△EBD≌△CBD （ASA ），
∴BE=BC，
∴CB=CD=BE=DE，
∴四邊形BCDE是菱形．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查菱形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)．注意掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．