Question

桐城市某游樂場投資150萬元引進了一項大型游樂設(shè)施，若不計維修保養(yǎng)費用，預(yù)計開放后每月可創(chuàng)收33萬元，而改游樂設(shè)施開放后，從第1個月到第x個月的維修保養(yǎng)費用累計為y萬元，且滿足y=ax²+bx；若將創(chuàng)收扣除投資和維修保養(yǎng)費用所得稱為游樂場的純收益W萬元．
（1）若維修保養(yǎng)費用第1個月為2萬元，第2個月為4萬元，分別求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式以及W關(guān)于x的表達式；
（2）問設(shè)施開放幾個月時，游樂場的純收益達到最大，最大收益多少萬元？
（3）幾個月后，能收回投資？

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）將x=1，y=2及x=2，y=6代入關(guān)系式y(tǒng)=ax²+bx求出a、b的值進而求出y與x的關(guān)系式，再由利潤=收入-投資-維修保養(yǎng)費用就可以得出W與x的關(guān)系式；
（2）由（1）的W與x的關(guān)系式變?yōu)轫旤c式就可以求出結(jié)論；
（3）由函數(shù)的解析式可以得出0＜x≤16時y隨x的增大而增大，當W=0時求出x的值即可求出結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，得

2=a+b 6=4a+2b

，
解得：

a=1 b=1

，
y=x²+x．
W=33x-150-（x²+x），
W=-x²+32x-150．
答：y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=x²+x，W關(guān)于x的表達式為W=-x²+32x-150；
（2）∵W=-x²+32x-150，
W=-（x-16）²+106．
∵a=-1＜0，
∴x=16時，W_最大=106萬元．
答：設(shè)施開放16個月時，游樂場的純收益達到最大，最大收益106萬元；
（3）由題意，得
0=-x²+32x-150，
解得：x₁=16+

106

，x₂=16-

106

，
∵16+

106

＞16-

106

，
∴x=16-

106

．
∵x為整數(shù)，
∴x=5時，W＜0，
當x=6時，W＞0，
∴6個月后，能收回投資．

點評：本題考查了二次函數(shù)的頂點式的運用，利潤=收入-投資-維修保養(yǎng)費用的數(shù)量關(guān)系的運用，一元二次方程的運用，解答時求出函數(shù)的關(guān)系式是關(guān)鍵．