Question

5．猜想與證明：
如圖，擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF，使B、C、G三點在一條直線上，CE在邊CD上，連接AF，若M為AF的中點，連接DM，EM．
（1）試猜想寫出DM與EM的數量關系，并證明你的結論．
拓展與延伸：
（2）若將“猜想與證明”中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，其他條件不變，則（1）中的結論是否仍然成立？請直接寫出你的判斷．

Answer 1

分析 （1）結論：DM=EM．只要證明△FME≌△AMH，推出HM=EM，在直角△HDE中利用斜邊中線的性質即可證明．
（2）結論不變．證明方法類似．

解答 解：（1）結論：DM=EM．
理由：如圖1，延長EM交AD于點H，

∵四邊形ABCD和ECGF是矩形，
∴AD∥EF，
∴∠EFM=∠HAM，
又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，
在△FME和△AMH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFM=∠HAM}\\{FM=AM}\\{∠FME=∠AMH}\end{array}\right.$，
∴△FME≌△AMH，
∴HM=EM，
在直角△HDE中，HM=EM，
∴DM=HM=EM，
∴DM=EM．

（2）成立．（證明方法類似），

點評 本題考查矩形的性質、全等三角形的判定和性質、正方形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．