Question

2．矩形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，CF平分∠ACD交AD于點(diǎn)F，連接EF，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)，N點(diǎn)為AE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AB=6
（1）證明：△ABE≌△CDF；
（2）填空：①當(dāng)BC=6$\sqrt{3}$時(shí)，四邊形AECF為菱形；
②在①的條件下，當(dāng)ON=2$\sqrt{3}$時(shí)，四邊形ONMC為平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）只要證明∠BAE=∠FCD，即可根據(jù)ASA證明△ABE≌△CDF．
（2）當(dāng)BC=6$\sqrt{3}$時(shí)，四邊形AECF是菱形．通過(guò)計(jì)算求出AF=FC，再證明四邊形AECF是平行四邊形即可解決問(wèn)題．
（3）當(dāng)AN=NE時(shí)，先證明四邊形ONMC是平行四邊形，再求出ON的長(zhǎng)即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，∠B=∠D=90°，
∴∠BAC=∠ACD，
∵∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠BAE=∠FCD，
在△ABE和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠DCF}\\{AB=CD}\\{∠B=∠D}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．

（2）當(dāng)BC=6$\sqrt{3}$時(shí)，四邊形AECF是菱形．
理由：在Rt△ADC中，∵AD=BC=6$\sqrt{3}$，DC=6，
∴tan∠DAC=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠DAC=30°，∠ACD=60°，
∴∠ACF=∠DCF=30°，
∴DF=CD•tan30°=2$\sqrt{3}$，
∴CF=2DF=4$\sqrt{3}$，AF=AD-DF=6$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
∴AF=CF，
∵△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，
∵AD=BC，
∴AF=CE，∵AF∥EC，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵AF=FC，
∴四邊形AECF是菱形．
故答案為6$\sqrt{3}$．

（3）當(dāng)AN=NE時(shí)，∵四邊形AECF是菱形，
∴OA=OC，
∴ON∥EC，
∵AN=NE，EM=CM，
∴NM∥AC，
∴四邊形ONMC是平行四邊形，
∴ON=CM=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．
故答案為2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、矩形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，本題的突破點(diǎn)是利用特殊角30°解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．