Question

15．如圖，△ABC的三條中線相交于點G．
（1）求證：$\overrightarrow{GD}$+$\overrightarrow{GE}$+$\overrightarrow{GF}$=$\overrightarrow{0}$；
（2）求證；$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$．

Answer 1

分析 （1））由△ABC的三條中線相交于點G，可得$\overrightarrow{GD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{GE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{GF}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CF}$，然后證得$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{0}$，即可證得結(jié)論；
（2）由△ABC的三條中線相交于點G，可得$\overrightarrow{GA}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{GB}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{GC}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CF}$，繼而證得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵△ABC的三條中線相交于點G，
∴$\overrightarrow{GD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{GE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{GF}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CF}$，
∵$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{BA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{CB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$，
∴$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{CB}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BA}$）=$\overrightarrow{CB}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BC}$）=$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{GD}$+$\overrightarrow{GE}$+$\overrightarrow{GF}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{CF}$）=$\overrightarrow{0}$；

（2）∵△ABC的三條中線相交于點G，
∴$\overrightarrow{GA}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{GB}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{GC}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CF}$，
∴$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=-$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{CF}$）=$\overrightarrow{0}$．

點評 此題考查了平面向量的知識以及三角形重心的性質(zhì)．注意掌握三角形法則的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．