Question

如圖所示，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，CD⊥AB于點(diǎn)P．求當(dāng)AP=

1

4

AB時，∠B的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,含30度角的直角三角形,圓周角定理

專題：計算題

分析：根據(jù)垂徑定理由CD⊥AB得到

AC

=

AD

，根據(jù)圓周角定理得∠ACP=∠B，于是可判斷Rt△CAP∽Rt△BCP，利用相似比得CP²=AP•PB，再由AP=

1

4

AB得到PA=

1

3

PB，所以CP²=

1

3

PB•PB，解得CP=

3

3

PB，然后在Rt△BCP中利用∠B的正切求出∠B的度數(shù)．

解答：解：∵CD⊥AB，
∴

AC

=

AD

，
∴∠ACP=∠B，
∴Rt△CAP∽Rt△BCP，
∴

CP

PB

=

AP

CP

，
∴CP²=AP•PB，
∵AP=

1

4

AB，
∴PA=

1

3

PB，
∴CP²=

1

3

PB•PB，解得CP=

3

3

PB，
在Rt△BCP中，∵tanB=

CP

PB

=

3

3

，
∴∠B=30°．

點(diǎn)評：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了銳角三角函數(shù)的定義和圓周角定理．