Question

11．如圖，在△ABC中，∠A=80，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點A₁，得∠A₁，∠A₁BC的平分線與∠A₁CD的平分線交于點A₂，得∠A₂，…，∠A₂₀₁₅BC的平分線與∠A₂₀₁₅CD的平分線交于點A₂₀₁₆，得∠A₂₀₁₆CD，則∠A₂₀₁₆=（　�。�

• A． 80•2^-2014
• B． 80•2^-2015
• C． 80•2^-2016
• D． 80•2^-2017

Answer 1

分析 根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，根據(jù)角平分線的定義可得∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，然后整理得到∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，同理可得∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁，從而判斷出后一個角是前一個角的$\frac{1}{2}$，然后表示出，∠A_n即可．

解答 解：由三角形的外角性質(zhì)得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，
∵∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點A₁，
∴∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠A₁+∠A₁BC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A+∠A₁BC，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，
同理可得∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁=$\frac{80}{4}$，
…，
∠A_n=$\frac{80}{{2}^{n}}$．
所以∠A₂₀₁₆=$\frac{80}{{2}^{2016}}$=80•2^-2016．
故選：C．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)并準確識圖然后求出后一個角是前一個角的$\frac{1}{2}$是解題的關(guān)鍵．